למה למטריצה A ול A טרנספוז יש אותם ע"ע?

[Bis0617]

למה למטריצה A ול A טרנספוז יש אותם ע"ע?

מישהו יכול להוכיח?

 

[עעעערררר]

כי ל-A-xI ול-At-xI יש אותה דרגה.

 

[Bis0617]

אז למה זה מחייב אותם ערכים עצמיים?

 

[אורי769]

הדרכה

נניח x הוא ע"ע של A. מה זה אומר?
אפשר לראות מההגדרה של ע"ע שזה אומר הדרגה של A-xI אינה מלאה.
לחילופין, אם מצאתי y עבורו A-yI היא מטריצה מדרגה לא מלאה אז y הוא ע"ע של A.
עכשיו תוכיח שלכל x הדרגה של A-xI שווה לדרגה של A^t-xI. ואז נשאר לך להבין למה זה בדיוק עונה על השאלה שלך.

אגב, ניתן גם להוכיח ש- det(A^t-xI) = det(A-xI). גם זו הוכחה. מה שמעניין לשים לב זה שלמרות שאלה שתי הוכחות למה ששאלת, הן למעשה מוכיחות טענות מעט שונות. האם תוכל להצביע על ההבדל?

 

[Bis0617]

אשמח הבהרה לחלק הזה של המשפט:

"אפשר לראות מההגדרה של ע"ע שזה אומר הדרגה של A-xI אינה מלאה.
"

 

[Bis0617]

הבהרה

לפי מה שאני יודע המטריצה מדרגה לא מלאה יש עע שהוא 0.

 

[אורי769]

זה כמעט ההגדרה

x ע"ע של A עם וקטור עצמי v != 0 אם מתקיים
Av = xv
זאת ההגדרה

מזה נובע ש-q (A-xI)v = 0.
מה זה אומר על הדרגה של A-xI?

 

[Bis0617]

זה נכון מה שכתבתי?

ככה מוכיחים? או שזה סתם קשקוש?

 

[אורי769]

אוי ואוי

לא רוצה לפגוע בך חלילה, אבל מה שכתבת מעיד שאתה נשארת אי שם מאחור בחומר. יש כאן נקודה מהותית באלגברה של מטריצות שאסור להתבלבל בה - אם B מטריצה v וקטור שונה מ-0, אז Bv=0 לא גורר ש-B=0!!! אני מציע לך בכל לשון לפנות למרצה או מתרגל עם שאלות ולחזור לעומק על החומר. אי אפשר להתמודד עם החומר של ע"ע ולכסון אם החומר הבסיסי של מרחבים וקטורים ומטריצות לא יושב טוב.

 

[Bis0617]

מזה חששתי

אני מבין שהוחמר לא יושב טוב, מנסה לעבוד על זה.
ובכל זאת, אני מנסה להבין למה כש- q (A-xI)v = 0.
זה משפיע על הדרגה..

 

[הפרבולה]

אם A*v=0

A מטריצה ו v וקטור ששונה מ 0 אז זה אומר שעמודות המטריצה A תלויות לינארית.

 

[Bis0617]

אוקיי

אני חוזר על החומר. לא מצליח כל כך להבין את האמת.
חבל שתתאמצו סתם אם יש לי בעייה יסודית יותר.
בכל מקרה אעבור שוב על הפוסט.
תודה:>