שאלה בגאומטריה אנליטית אשמח לעזרה

[bn123]

שאלה בגאומטריה אנליטית אשמח לעזרה

נתונים שני הישרים y=0.5x ו- y=-0.5x
יש למצוא את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור הנמצאות מעל אחד הישרים ומתחת לשני (או להיפך)
אם מכפלת מרחקיהן מהישרים שווה ל-8.
תודה רבה

 

[עעעערררר]

ובכן

תהי (x,y) נקודה. מרחקה מהישר הראשון הוא zzz(2x-y)/sqrt(5)zzz, ומרחקה מהישר השני הוא zzz(2x+y)/sqrt(5)zzz.
לכן, לפי הנתון, נקבל zz(2x-y)(2x+y)/5=8, כלומר 4x^2-y^2=40, וזו משוואה של היפרבולה.

 

[סוס כסוף]

לדעתי צריך להוסיף הגבלה לקטעי ההיפרבולה בין

הקווים האדומים (ראה שרטוט מצורף)

 

[MeTaVDR]

 

[עעעערררר]

לא. פשוט טעיתי בחישוב

המשוואה של הישר (הימני עליון, בה"כ) היא 2y=x, ולא (כפי שעשיתי קודם בטעות) y=2x. לכן, במונה של המרחק יש x-2y (במקום 2x-y).
משוואת ההיפרבולה יוצאת x^2-4y^2=40. שים לב שהישרים הנתונים הם אסימפטוטות שלה.

 

[סוס כסוף]

בכל מקרה הדרישות של מכפלת המרחקים והמיקום

ביחס לישרים הן בלתי תלויות ולכן צריך לבדוק את שתיהן. במקרה הנוכחי הפתרון של המרחקים מקיים גם את דרישת המיקום וזה מצוין

. אבל זה לא הכרחי שזה תמיד יהיה כך.

 

[עעעערררר]

בגלל זה לא שמתי ערך מוחלט...

בנוסחה למרחק נקודה מישר, יש ערך מוחלט. אם מתעלמים ממנו, מקבלים את מרחק הנקודה מעל הישר (או מתחתיו. תלוי איך עובדים), כלומר, אם הנקודה בצד ה"לא נכון" של הישר, התוצאה תהיה שלילית.

הכפלתי את מרחק הנקודה מעל אחד הישרים במרחק הנקודה מתחת הישר השני. לכן, התוצאה תהיה חיובית אמ"מ הנקודה מעל אחד הישרים ומתחת השני.

(אם הייתי שם ערך מוחלט, הייתי מקבל פתרון נוסף שהוא x^2-4y^2=-40. גם זו היפרבולה, שהישרים הנתונים הם אסימפטוטות שלה, והנקודות בה מקיימות את הדרישה של מכפלת המרחקים, אבל לא את דרישת המיקום.)

 

[סוס כסוף]

השאלה היא איך אתה יודע שההיפרבולה לא חותכת את

הישרים אם אתה לא בודק זאת? רק אחרי הבדיקה אפשר להגיד שההיפרבולה המתקבלת היא בעלת אסימפטוטות שמתלכדות עם הישרים הנתונים.

 

[עעעערררר]

כי המרחק בין ישר לנקודה שעליו הוא 0

ומכפלת נקודות שעל ההיפרבולות האלו מהישרים היא 8, ובפרט, מרחקה מאף אחד מהישרים אינו 0

 

[סוס כסוף]

לא ירדתי לסוף דעתך, אבל תודה על ההנמקה.