למה כל מספר בחזקת 0 הוא 1 ולא הבסיס?

[grinberg]

למה כל מספר בחזקת 0 הוא 1 ולא הבסיס?

כאשר אני עושה במחשבון כל מספר בחזקת אפס התוצאה היא 1. הרי אם יש לי 3 תפוחים ואני מכפיל את זה 0 פעמים ב-3 0 הרי יישאר לי שלושה תפוחים ולא 1. תודה

 

[Fingertip]

יש לך טעות קטנה.

אם יש לך 3 תפוחים, ואתה מכפיל את מספרם 0 פעמים ב-3, אז באמת נשארים לך 3 תפוחים. והנה, ה"מתמטית" זה עדיין מתקיים:

3·3^0 = 3·1 = 3​

(0^3 זה "שלוש בחזקת אפס") אהד.

 

[grinberg]

אבל למה שלוש בחזקת אפס הוא אחת?

אני ממש חדש במתמטיקה אשמח לביאור נרחב יותר. תודה.

 

[Fingertip]

שים לב...

שים לב שאתה בעצמך אמרת ש-0^3 יהיה 1. ככה בדיוק הסברת את עצמך: אם יש לי 3 תפוחים ואני מכפיל אותם 0 פעמים ב-3, אז עדיין יש לי 3 תפוחים. כפי שהראיתי, אם מתרגמים את זה למתמטית, זה יכול להשאר הגיוני אך ורק אם 1 = 0^3. עכשיו אתה יכול להחליף 3 בכל מספר אחר, ולקבל שכל מספר בחזקת 0 צריך להיות 1. המקרה היחיד ש"מוזר" הוא 0^0, ואותו בדרך כלל לא מגדירים. אהד.

 

[אלמוני היחידה]

../images/Emo104.gif...

a^n=a*a^(n-1) -----> a^n/a=a^(n-1) ---n=1--->a/a=a^(1-1) ---->1=a^0 מקווה שזה ברור

 

[grinberg]

הבנתי ש

3 כפול 3 בחזקת מינוס אחת הוא אחת. אבל עדיין זה לא מסתדר לי מבחינה הגיונית. עכשיו אני לפחות מבין שחסר לי פה איזו הבנה בסיסית. אני מקווה שזה פתאום יתבהר לי... תודה

 

[טלמון סילבר]

מה 3 בחזקת משהו?

למשל, מה זה 3 בחזקת 5? בוא נחשב את התוצאה. יהי x המשתנה בו נקבל את התוצאה. טוב, אנחנו כבר יודעים שצריך לבצע פעולות כפל. אז דבר ראשון נכין את x לביצוע פעולות כפל. הכנה זו היא, שאנו נותנים למשתנה x את הערך 1. אח"כ נכפיל אותו במשהו. כך גם כותבים תכנית במחשב: דבר ראשון "מנקים" את המשתנה שרוצים לצבור בו מכפלה [אם היינו רוצים לצבור סכום, היינו צריכים בהתחלה לאפס את המשתנה בו אנו רוצים לצבור את הסכום]. טוב, אחרי שביצענו את פעולת ההכנה (רשמנו 1 במשתנה x), נבצע במשתנה x את הפעולה "3 בחזקת 5". זה אומר, שאנחנו צריכים להכפיל את x ב-3 5 פעמים. התוצאה תהיה 3 בחזקת 5. אם היינו צריכים 3 בחזקת 1, אז גם-כן דבר ראשון היינו רושמים 1 במשתנה x בשביל לצבור מכפלה, ואח"כ מכפילים אותו (את המשתנה x) ב-3 פעם אחת בלבד. לפי אותו היגיון, אם אנו צריכים 3 בחזקת 0, אז אחרי פעולת ההכנה, כשרשמנו 1 במשתנה x, נכפיל אותו ב-3 0 פעמים, כלומר, בכלל לא נכפיל אותו ב-3, כלומר, התוצאה הסופית תהיה זהה למה שרשמנו שם מלכתחילה, כלומר ה-1 שרשמנו שם. נניח שחישבנו, כמו בפעם הראשונה, 3 בחזקת 5. עכשיו התחרטנו, ואנו צריכים חזקה אחת פחות, כלומר חזקת 4 בלבד של המספר 3. אבל כבר הכנסנו למשתנה x את 3 בחזקת 5. מה לעשות? פשוט מאוד! נחלק את התוצאה ב-3. כנ"ל, אם עוד פעם נחלק את התוצאה ב-3, נקבל חזקה אחת פחות, כלומר חזקת 3 של 3. נמשיך לחלק, נקבל חזקת 2 של 3 (זה יהיה המספר 9). נחלק עוד פעם, נקבל את חזקת 1 של 3 (כלומר, את המספר 3). אם אנו רוצים חזקה אחת פחות, עלינו לחלק שוב את התוצאה ב-3. וכך נקבל ש-3 בחזקת 3 שווה 1. אפשר להמשיך: 3 בחזקת מינוס 1 שווה שליש, 3 בחזקת מינוס 2 שווה תשיעית, 3 בחזקת מינוס 3 שווה 1 חלקי 27, וכו'. זה ההיגיון של 3 (או כל מספר אחר שונה מ-0) בחזקת 0 ובחזקת מספר שלם שלילי. היגיון זה מרשה לנו להרחיב את הנוסחאות הידועות:

a^m * a^n = a^(m+n) a^m / a^n = a^(m-n)​

לכל מספרים שלמים m ו-n (כאשר a שונה מ-0). לכבוד ההיגיון הזה, פשוט הגדירו את a בחזקת 0 (כאשר a שונה מ-0) כשווה 1, ואת a בחזקת מספר שלם שלילי, כ-1 חלקי a בחזקה החיובית המקבילה. למעשה אי אפשר להוכיח את זה. זו הגדרה. הגדרה הגיונית ונוחה.

 

[טלמון סילבר]

מתנצל על "טעויות דפוס"

אבל לא אתקן אותן - לפי ההיגיון אפשר להבין למה הכוונה [למשל, באחד המקומות, במקום לכתוב ש-3 בחזקת 0 שווה 1, כתבתי בטעות ש-3 בחזקת 3 שווה 1 ../images/Emo8.gif]

 

[נצחיהTT]

../images/Emo127.gif

 

[נצחיהTT]

נשלח לי באמצע

תשובה ברורה על אף הדיסקלוד באמצע. הוכנס לשאלות הנפוצות.

 

[סופר פריק]

לדעתי זה הכל מוסכמות מתמטיות

אבל אנסה להסביר את ההגיון מאחור 3 בריבוע שווה 9 שגם שווה 3 בחזקת אחד כפול 3 בחזקת אחד כלומר כאשר שתי בסיסים שווים, בחזקה כלשהיא (לדוג' 3 בשביעית ו-3 בחמישית) מוכפלים זה בזה החזקות מתחברות (כלומר 3 בריבוע כפול 3 בחזקת 1 שווה 3 בשלישית שווה 27) לכן כאשר נכפיל 3 בחזקת 1 ב-3 בחזקת מינוס 1 ששווה ל-3 בחזקת (1-1) או 3 בחזקת 0 וזה שווה ל-1 . (3 בחזקת מינוס אחד שווה 1/3) עצם הפעולה של עלייה בחזקה אחת היא הכפלה בבסיס (3 בחזקת שתיים כפול 3 שווה 3 בשלישית) ועצם הפעולה של ירידה בחזקה היא חלוקה בבסיס (שלוש בחזקת אחד חלקי שלוש שווה 3 בחזקת 0 ששווה כמובן ל-1. מקווה שזה היה משכנע. חחחח. SF

 

[grinberg]

חזקה הוא סוג של היררכיה

מה שהבנתי מכם הוא שחזקה היא מוסכמה מתמטית. "שלוש בחזקת אחת" היא בעצם "שלוש בחזקת שתים לחלק לשלוש" (3) ולפיכך "שלוש בחזקת אפס" היא "שלוש בחזקת אחת לחלק לשלוש" (1). זאת אומרת שחזקה היא בעצם הנחיה לחישוב מספר אבל אינה מהווה בעצמה משהו טבעי (בשונה מחיבור, חיסור, כפל וחילוק). נכון?

 

[טלמון סילבר]

לא נכון.

זה בדיוק אותו דבר! את "ההנחיות איך לעשות" כתבתי רק להמחשת ההיגיון. בדיוק אותו דבר אפשר לעשות לגבי חיבור וחיסור, המשמשים להגדרת כפל במספר שלם.

 

[טלמון סילבר]

המשך - "חבורה של מספרים"

ניקח "חבורה של מספרים", הכוללת את המספרים הבאים: 3, 6, 9, 12, 15, . . . וכן הלאה, כלומר, את כל הכפולות החיוביות של 3. נגדיר ב"חבורה" הזו "פעולת חיבור" באופו הטבעי ביותר: חיבור חשבוני רגיל. מתברר, שאם נחבר שני חברים כלשהם מה"חבורה" הזו, נקבל שוב חבר מסוים מה"חבורה"! אבל, אם כבר דיברנו על "חיבור", מתבקשת הגדרת פעולה הפוכה, "חיסור". לפעמים זה מצליח. למשל, אם ננסה לחסר 9 מ-15, כלומר, למצוא מספר שהחיבור שלו עם 9 יתן 15, אז אכן יש ב"חבורה" שלנו מספר כזה, והוא המספר 6. אבל לא בכל המקרים ההצלחה תאיר לנו פנים. אם ננסה לעשות להיפך, לחסר 15 מ-9, ואפילו לחסר את אחד החברים מה"חבורה" שלנו מעצמו, לא נמצא ב"חבורה" שלנו אף חבר שיתאים למשימה זו. אם נרחיב את ה"חבורה" שלנו, ונצרף אליה גם את המספר 0, וגם את הכפולות השליליות של 3: מינוס 3, מינוס 6, מינוס 9 וכו', ניווכח שהבעייה נפתרה במלואה! עכשיו ה"חבורה" שלנו יכולה להתקיים באופן עצמאי, ויותר אינה זקוקה לאף אחד! כמובן, בתנאי שמעניינת אותה רק פעולת החיבור והחיסור בין חבריה. באופן דומה אפשר להגדיר "חבורת" מספרים אחרת - את המספרים 3, 9, 27, 81 וכו'. בחבורה זו מעניינת אותנו פעולת הכפל. אם נכפיל שני חברים כלשהם מה"חבורה", יתקבל בהכרח חבר כלשהו מה"חבורה". אבל אם אנו רוצים להגדיר גם את הפעולה ההפוכה, החילוק, הרי שלא תמיד נצליח להגדיר אותה מבלי לחרוג מה"חבורה". אפשר לחלק 81 ל-9, ושוב יתקבל חבר מה"חבורה", המספר 9, אבל אי אפשר לעשות להיפך. וגם את החבורה הזו אפשר להרחיב כך, שבעייה זו תיפתר: נצרף אליה את המספרים 1, שליש, תשיעית, 1 חלקי 27 וכו'. עכשיו ה"חבורה" שלנו יכולה להתקיים באופן עצמאי, מבחינת כפל וחילוק, ויותר אינה זקוקה לאף אחד נוסף. כמו קודם, אם ניקח שני חברים כלשהם מה"חבורה", המכפלה שלהם תישאר במשפחה: נקבל חבר כלשהו מה"חבורה". אבל עכשיו גם אפשר לחלק אותם חופשי זה בזה, ולא חשוב את מי במי, ושוב נצליח להסתדר בתוך ה"החבורה" עצמה! [גם כאן, הפעולה ההפוכה "חילוק" אינה סימטרית. התוצאה כמובן תלויה בכך, את מי מחלקים במי, אבל מה שרציתי להדגיש, זה שבשני המקרים אנחנו לא נאלצים לחרוג מה"חבורה" בשביל למצוא את התוצאה. הכל בתוך המשפחה!] ניזכר בחבורה הראשונה, בה לקחנו את כל הכפולות השלמות של 3, כלומר, את המכפלות של 3 בכל המספרים השלמים האפשריים. בחבורה זו יש תפקיד חשוב למספר 0, ולא נפרט כדי לא להעמיס יותר מדי. מ-0 אפשר ללכת בהדרגה לשני הכיוונים האפשריים, ולקבל חברים שונים של החבורה, כפולות שונות של 3. בדיוק אותו הדבר בחבורה השנייה! כאן המספר 1 ממלא את "התפקיד החשוב", וממנו אפשר ללכת לשני הכיוונים האפשריים, ולקבל חברים שונים של החבורה. לשם הנוחות, המציאו לחברים האלה את השם "חזקות", במקביל לשם "כפולות" של החבר'ה מהחבורה הראשונה. ובדיוק כמו שבחבורה הראשונה היו הכפולות של 1, 2, 3, . . ., 0, מינוס 1, מינוס 2, מינוס 3, . . . כך גם מכנים את חברי החבורה השנייה בהתאם "חזקות" 1, 2, 3, . . ., 0, מינוס 1, מינוס 2, מינוס 3, . . . ואם שמת לב, החל ממקום מסוים השמטתי את הגרשיים מהמילה "חבורה"! כי זהו מונח מתמטי "רשמי" לקבוצה "עצמאית" כלשהי, המסתדרת באופן מלא עם פעולה כלשהי ועם הפעולה ההופכית שלה. כשמדברים על חבורה, זה אפילו לא משנה איך תקרא לפעולה המוגדרת בה: "חיבור", או "כפל", או איך שאתה רוצה. בכל חבורה קיים בהכרח חבר מסוים הממלא את "התפקיד המיוחד".

 

[נצחיהTT]

תשובה יפה ../images/Emo127.gif

אולי אפשר להתחיל כאן (או במאמרים) קורס מבוא למתמטיקה "אמיתית" (להבדיל מהמתמטיקה של התיכון)

 

[aetzbar]

מתמטיקה למתחילים - פרשנות אישית

הגדל והקטן במקום כפול ולחלק , החזק והחלש במקום חזקה והיפוכה 7 בהחזק של 3 = 7 בהגדל 7 בהגדל 7 = 343 2 פעמים פעולת הגדל 7 בהחזק של 2 = 7 בהגדל 7 = 49 1 פעם פעולת הגדל 7 בהחזק של 1 = 7 0 פעם פעולת הגדל 7 בהחלש של 1 = 7 בהקטן 7 = 1 1 פעם פעולת הקטן 7 בהחלש של 2= 7 בהקטן 7 בהקטן 7 = 0.142 2 פעמים פעולת הקטן 7 בהחלש של 3 = 7 בהקטן 7 בהקטן 7 בהקטן 7 = 0.02 3 פעמים פעולת הקטן מי שרוצה יכול לרשום 7 בהחזק של 0 במקום 7 בהחלש של 1 או 7 בהחזק של מינוס 1 במקום 7 בהחלש של 2 או 7 בהחזק של מינוס 2 במקום 7 בהחלש של 3 וכן הלאה.... א.עצבר

 

[חסוי וחסה]

מזה בהחלש ולזה בהגדל?

אתה לא יכול פשוט ככה להמציא שמות יש הגדרות מסודרות וכללים שצריך ללכת לפיהם

 

[טלמון סילבר]

איפה זה כתוב,

שהוא לא יכול?! עובדה, שהוא יכול ../images/Emo8.gif

 

[InfinitesmalEternity]

מה שמעניין זה למה

אם הוא נותן ככה שמות לחזקה, כפל,וחילוק (וזה מאוד עצוב שהוא לא יודע איך קוראים ל"היפוכה" של חזקה), למה הוא בכלל עוד קורא לכל העסק מתמטיקה? ז"א, אם הוא קורא לתורה שלו "חשבוניות שלמה" או משהו כזה, אין שום בעייה שיהיה לו שם פאי משטחי, משתנה, מידלגי, מקפץ, ומה שהוא לא רוצה... ואז אפשר לבקש אפילו פורום "חשבוניות שלמה", שיהיה מן הסתם אחד מההזויים יותר, ולפיכך מעניין.

 

[טלמון סילבר]

אכן,

הצעתי לו מזמן לכתוב בפורומים אחרים, שאולי קשורים לדבריו, נניח פורום חובבי חתולים. והעניין לאו דווקא בשמות, אלא בהיעדר שמץ של דידקטיקה, ואפילו בקושי הרב שיש לו לענות על שאלה מסוג "האם קראת הודעה מסוימת".