ליד / על יד (ל/על +יד) = יד אחת; לכן גם ל/על+ידנו (היד שלנו)
לעומת זאת:
על ידי = ידיים; לכן גם על + ידינו (הידיים שלנו)
באופן כללי, כפי שכתבתי כאן השבוע בשרשור אחר, היו"ד מגיעה מצורת הריבוי.
לכן גם:
בננו (בן+נו) = הבן שלנו; בנינו (בני+נו) = הבנים שלנו
זמננו (זמן+נו) = הזמן שלנו; זמנינו (זמני+נו) = הזמנים שלנו