לגלישה באתר בגירסה המותאמת לסלולאר
| הוספת הודעה
הגדרות תצוגה

הגדרות עץ הודעות

מאפייני צפייה

הצג טקסט בתצוגה
הצג תגובות באופן
עדכן
2465624,656 עוקבים אודות עסקים

פורום מתמטיקה

"המתמטיקה היא מלכת המדעים", אמר קרל פרידריך גאוס, גדול המתמטיקאים בכל הזמנים.מתמטיקה היא אמנות המחשבה הטהורה, ואם נרצה או לא היא שזורה בחיינו, בגלוי או מאחורי הקלעים. אני מזמין את קהל הגולשים לבקש ולתת עזרה בכל תחום במתמטיקה ובכל רמה, או סתם להעלות רעיונות ונושאים לדיון (במתמטיקה).זה המקום גם לחידות לוגיות, בעיות פתורות, בלתי פתורות ובלתי ניתנות לפתירה, ואפילו בדיחות מתמטיות (כן, יש כאלה).מה לא שייך לכאן? כל נושא שאינו מתמטי, אפילו אם הוא קשור למתמטיקה. אם ברצונכם לברר מה כלול בבגרות ארבע יחידות, ומה בחמש, אם אתם רוצים לדעת מתי מועד ב` באלגברה לינארית א` באוניברסיטה העברית, או אם אתם חייבים לגלות מי שם עכבר (אופטי) בתיק של המורה (למתמטיקה) - אנא השתמשו בלוחות "לומדים לבגרות" או "לומדים לתואר" בפורום, או פנו לפורום "לימודים ועוד", או לפורום "סטודנטים", המתאימים יותר לתכנים מסוג זה. גם דיונים בפיזיקה מקומם לא כאן, אלא בפורום "מדע פופולרי".כמו כן, אנא המנעו מהבאת הפניות לבעיות מספרים, כתחליף לציטוט הבעיה. הפניות כאלו אינן בנות משמעות למרבית הגולשים שאין ברשותם את הספר המדובר, ואינן תורמות לדיון.לרשותכם גם לוח "שעורים פרטיים" בו אתם יכולים לבקש ולהציע עזרה מקצועית בלימודי המתמטיקה בכל רמה.

הנהלת הפורום:

אודות הפורום מתמטיקה

"המתמטיקה היא מלכת המדעים", אמר קרל פרידריך גאוס, גדול המתמטיקאים בכל הזמנים.מתמטיקה היא אמנות המחשבה הטהורה, ואם נרצה או לא היא שזורה בחיינו, בגלוי או מאחורי הקלעים. אני מזמין את קהל הגולשים לבקש ולתת עזרה בכל תחום במתמטיקה ובכל רמה, או סתם להעלות רעיונות ונושאים לדיון (במתמטיקה).זה המקום גם לחידות לוגיות, בעיות פתורות, בלתי פתורות ובלתי ניתנות לפתירה, ואפילו בדיחות מתמטיות (כן, יש כאלה).מה לא שייך לכאן? כל נושא שאינו מתמטי, אפילו אם הוא קשור למתמטיקה. אם ברצונכם לברר מה כלול בבגרות ארבע יחידות, ומה בחמש, אם אתם רוצים לדעת מתי מועד ב` באלגברה לינארית א` באוניברסיטה העברית, או אם אתם חייבים לגלות מי שם עכבר (אופטי) בתיק של המורה (למתמטיקה) - אנא השתמשו בלוחות "לומדים לבגרות" או "לומדים לתואר" בפורום, או פנו לפורום "לימודים ועוד", או לפורום "סטודנטים", המתאימים יותר לתכנים מסוג זה. גם דיונים בפיזיקה מקומם לא כאן, אלא בפורום "מדע פופולרי".כמו כן, אנא המנעו מהבאת הפניות לבעיות מספרים, כתחליף לציטוט הבעיה. הפניות כאלו אינן בנות משמעות למרבית הגולשים שאין ברשותם את הספר המדובר, ואינן תורמות לדיון.לרשותכם גם לוח "שעורים פרטיים" בו אתם יכולים לבקש ולהציע עזרה מקצועית בלימודי המתמטיקה בכל רמה.

תורת גלואה על רגל אחת

מאת: Ferma  פורסם: 25/10/2007  עדכון אחרון: 18/11/2009  
 

זו תמיד היתה אחת הבעיות היחודיות למתמטיקה, מאוד קשה להסביר את התיאוריות להדיוטות. אך לא מעט אנשים טוענים שמתמטיקאים הם אידיאליסטים, והם תמיד מנסים. הנה דוגמא לאיך מסבירים לאדם הסקרן. מן הראוי שהאדם הסקרן יקרא את הדברים בהקשר המתאים, וההקשר הוא שזהו אחד מהספרים הטובים ביותר שנכתבו מעולם (ואחד היחידים בהיקפם) שמטרתם להביא את המתמטיקה לקהל הרחב. החלטתי לתרגם (ולערוך) קטע קצר מהכרך השלישי. אני חושב שזו דוגמא מופתית להסבר כנדרש (אך יש לקחת בחשבון שהם מגיעים לטיפול בעניין הזה אחרי כ-900 עמודים של מלל על נושאים אחרים ונושאים קשורים במתמטיקה). מכל מקום, הסברים קודם:


חבורות גלואה
לקראת סוף המאה ה-18,
לגראנז' הבחין בקשר בין התכונות הסימטריות של שורשים (roots) של משוואה אלגברית, ובין האפשרות לפתור את המשוואה באמצעות הוצאת שורשים (radicals). קשר זה היה נושא החקירות העמוקות של המתמטיקאים המפורסמים אבּל וגלואה, בשליש הראשון של המאה ה-19; וכך, הם הגיעו לפתרון הבעיה המפורסמת: תנאים לפתירותה של משוואה אלגברית באמצעות הוצאת שורשים (זהו המשפט שנצחיה הזכירה בהודעתה ). הפתרון היה מבוסס לחלוטין על חקירה עדינה של תכונות חבורת התמורות, ולמעשה היווה את התחלתה של תורת החבורות.
בזמננו, הענף העוסק בקשרים בין תכונותיהן של משוואות אלגבריות ובין תכונותיהן של חבורות הוא נושא המחקר של תורה שלמה המכונה "
תורת גלואה".

החבורה של משוואה אלגברית.
נתבונן במשוואה ממעלה n:

x^n + a[1]x^(n-1) + … + a[n] = 0                   (1)


כאשר אנו מניחים שהמקדמים שלה הם בעלי ערכים מסוימים; למשל, מספרים מרוכבים כלשהם. קבוצת כל הערכים שניתן לקבל ממקדמי המשוואה באמצעות מספר סופי של פעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק, מכונה
שדה הבסיס או תחום הרציונליות של המשוואה.
לדוגמא, אם למשוואה יש מקדמים רציונליים, אז תחום הרציונליות של המשוואה הוא קבוצת כל המספרים הרציונליים; ואם המשוואה היא מהצורה x² + √2x + 1 = 0, אז תחום הרציונליות מכיל את כל המספרים מהצורה a + b√2, כאשר a,b הם מספרים רציונליים.
נסמן את שורשי המשוואה המדוברת על-ידי δ[1], ..., δ[n]zzz. קבוצת הערכים שניתן לקבל מהשורשים הללו באמצעות מספר סופי של פעולות חיבור, חיסור, כפל וחילוק מכונה
שדה הפיצול של המשוואה.
לדוגמא, שדה הפיצול של המשוואה x² + 1 = 0 היא קבוצת כל המספרים המרוכבים, a+b*i כאשר a,b מספרים רציונליים; ושדה הפיצול של המשוואה x² + √2x + 1 = 0 הוא קבוצת כל המספרים מהצורה a+b*i+c √2+d*i √2, כאשר a,b,c,d רציונליים.
בעזרת
נוסחאות ויאטה ניתן לקבל את מקדמי המשוואה משורשי המשוואה על-ידי פעולות של חיבור וכפל. לכן, שדה הפיצול של משוואה מסויימת, תמיד מכיל את שדה הבסיס של אותה המשוואה. לעיתים, שני השדות הללו חופפים (כלומר, הם אותו השדה בדיוק).
מיפוי חד-חד-ערכי π של שדה הפיצול על עצמו יקרא אוטומורפיזם של שדה הפיצול ביחס לשדה הבסיס, אם עבור כל זוג איברים של שדה הפיצול: סכומם ממופה לסכום תמונותיהם, מכפלתם ממופה למכפלת תמונותיהם, וכל איבר של שדה הבסיס ממופה לעצמו. ניתן לתאר את התכונות הללו באמצעות הנוסחאות הבאות:

π(a + b) = π(a) + π(b), π(ab) = π(a)*π(b), π(α) = α
(a,b ε K, α ε P),                                                                                                            (2)


כאשר π(a)zzz היא התמונה של a; כלומר, π(a)zzz הוא האיבר אליו "עובר" a תחת המיפוי π; האות P מסמנת את שדה הבסיס; והאות K מסמנת את שדה הפיצול.

ניתן להראות, באמצעות עקרון כללי שלא נסביר כרגע, שקבוצת כל האוטומורפיזמים של שדה הפיצול ביחס לשדה הבסיס היא
חבורה. החבורה הזאת נקראת חבורת גלואה של משוואה נתונה כלשהי.
כדי לבסס רעיון יותר מוצק של חבורת גלואה, ראשית נבחין שהאוטומורפיזמים של חבורת גלואה מעבירים שורש של משוואה נתונה לשורש אחר של אותה המשוואה. מכיוון שאם x הוא שורש של משוואה (1), אז על-ידי הפעלת אוטומורפיזם על שני צדי המשוואה, ועל-ידי שימוש בתכונות (2) נקבל

(π(x))^n + π(a[1])(π(x))^(n-1) + ... + π(a[n]) = 0*π


ומכיוון ש-

0*π = 0, π(a[i]) = a[i],


נקבל

(π(x))^n + a[1](π(x))^(n-1) + ... + a[n] = 0


כנדרש. כתוצאה לכך, כל אוטומורפיזם π גורם ל
תמורה ברורה של קבוצת השורשים של המשוואה. מצד שני, כשאנו יודעים מהי התמורה, אנו יודעים גם מהו האוטומורפיזם, מכיוון שכל האיברים של שדה הפיצול מתקבלים מהשורשים על-ידי הפעלת פעולות אריתמטיות בלבד. הדבר הזה בא להראות שבמקום להתבונן בחבורת האוטומורפיזם, אנו יכולים להתבונן גם בחבורת התמורות על שורשי המשוואה, המתאימה לו. מכאן נובע, בפרט, שכל חבורות גלואה הן סופיות.

למצוא את חבורת גלואה של משוואה מסוימת היא לרוב משימה מסובכת, ורק במקרים מיוחדים המשימה היא קלה באופן יחסי. הבה נתבונן, למשל, במשוואה (1), עם המקדמים a[1], ..., a[n]zzz. שדה הבסיס של המשוואה נוצר על-ידי השברים הרציונליים של המקדמים, רוצה לומר, השברים שהמונים והמכנים שלהם הם פולינומים ב- a[1], ..., [an]zzz. שדה הפיצול נוצר על-ידי השברים הרציונליים של שורשי המשוואה δ[1], ..., δ[n]zzz, המקושרים עם המקדמים על-ידי הנוסחאות:

-a[1] = δ[1] + δ[2] + ... + δ[n],
a[2] = δ[1]δ[2] + δ[2]δ[3] + ... + δ[n-1]δ[n],
.                                                                                                         (3)
.
.
((-1)^n)a[n] = δ[1]δ[2]...δ[n].


מכיוון שמשוואה (1) היא "כללית", אנו יכולים להתייחס לשורשים שלה כמשנים בלתי-תלויים. אם-כך, כל תמורה של שורשים אלו גורמת לאוטומורפיזם של שדה הפיצול. הנוסחאות (3) מראות שתחת כל אוטומורפיזם כזה, המקדמים עוברים לעצמם, ושביחד איתם, כל השברים הרציונליים הנוצרים מהם, גם עוברים לעצמם. לכן, חבורת גלואה של המשוואה הכללית ממעלה n, היא בעיקרו של דבר
חבורת הסימטריה של כל התמורות בעלות n אותיות.
אנו גם יכולים לציין משוואות עם מקדמים מספריים, שחבורת הסימטריה שלהם היא חבורת גלואה שלהם. למשל, הוכח הדבר שחבורת גלואה של המשוואה

1 - {n/1}x + {n(n-1)/1*2}*{1/1*2}x^2 - {n(n-1)(n-2)/1*2*3}*{1/1*2*3}x^3 + ... + {(-1)^n}{1/n!}x^n = 0                                                                       (4)


עבור n שרירותי כלשהו, היא חבורת הסימטריה של התמורות מדרגה n.
ידועות מספר שיטות כלליות לבנית משוואות עבורן נקבעה מראש חבורה כלשהי כחבורת גלואה, אך רק בתנאי שבחירת המקדמים תהיה שרירותית. לעומת זאת, אם דרושה בניה עבור משוואה שנדרשת להיות בעלת מקדמים רציונליים, אז נכון לרגע זה, ניתן לעשות זאת רק עבור סוגים מסויימים של חבורות. פריצת דרך בכיוון הזה נעשתה על-ידי המתמטיקאי הרוסי
I. R. Šafarevič, שמצא שיטות לבניית משוואות עם מקדמים רציונליים שחבורה פתירה שרירותית נקבעה כחבורת גלואה שלהן. אך באופן כללי, הבעיה הזו עדיין נותרה ללא פתרון.


פתירותן של משוואות על-ידי הוצאת שורשים
חבורת גלואה של משוואה מאפיינת, כפי שניתן לראות בבירור מהגדרתה, את הסימטריה הפנימית של שורשי המשוואה. כל הבעיות הבסיסיות ביותר המתעסקות באפשרות של צמצום הפתרון של משוואה נתונה לפתרון משוואה ממעלה קטנה יותר, כמו-גם בעיות רבות אחרות, ניתנות לניסוח כבעיות על המבנה של חבורת גלואה; וחבורת גלואה של כל משוואה ממעלה n, היא חבורה מסוימת של תמורות ממעלה n, הווה אומר, עצם סופי לחלוטין, שבו כל היחסים יכולים להימצא על-ידי ניסוי וטעיה, לפחות באופן תיאורטי.
בחינה של חבורות גלואה היא שיטה יקרת-ערך לפתרון בעיות הקשורות למשוואות אלגבריות ממעלות גבוהות. למשל, ניתן להראות שמשוואה היא פתירה על-ידי הוצאת שורשים אם ורק אם חבורת גלואה שלה היא
חבורה פתירה. אנו יודעים שחבורות הסימטריה מהמעלות 2,3 ו-4 הן פתירות (ראה דוגמאות בערך באנגלית על חבורות פתירות). הדבר מתאים לחלוטין עם העובדה הידועה שמשוואות מהמעלות 2,3 ו-4 הן פתירות על-ידי הוצאת שורשים. חבורת גלואה של המשוואות ה"כלליות" מהמעלות 5,6 וכן-הלאה, הן חבורות הסימטריה מאותה המעלה. מכאן נובע (שוב, ראה דוגמאות וגו'), שמשוואות כלליות שדרגתן גבוהה מ-4, אינן ניתנות לפתרון באמצעות הוצאת שורשים.
בין המשוואות שלא ניתנות לפתרון באמצעות הוצאת שורשים, נמצאות גם המשוואות (4), עבור ערכי n>4, מכיוון שחבורת גלואה שלהן היא החבורה הסימטרית.


הערות:
1. כרגיל, ה-zzz הם ליישור המשוואות בתוך הטקסט, אין להם שום פירוש מתמטי או תוכני, אלא צורני בלבד.
2. ε מחליף את סימן ההשתייכות לקבוצה מסוימת. a ε A אומר "a שייך לקבוצה A", או "a הוא איבר של A".


מקווה שזה עבור ולו במעט,

אין תגובות

הודעות אחרונות

23:07 | 23.05.19 אוזו רוזו קוקורוזו
12:10 | 22.05.19 aaaaa139
16:53 | 22.04.19 aaaaa139
20:22 | 21.04.19 aaaaa139
13:18 | 16.04.19 hadar2017
11:49 | 14.04.19 Ring Bearer
20:23 | 09.04.19 AnarchistPhilosopher
15:57 | 09.04.19 pinkys brain1
18:11 | 05.04.19 basenew

חם בפורומים של תפוז

חפשו אותנו גם באינסטרגם
חפשו אותנו גם...
פודי תפוז - האינסטגרם החדש כל התמונות של...
חפשו אותנו גם באינסטרגם
חפשו אותנו גם...
פודי תפוז - האינסטגרם החדש כל התמונות של...
בפייסבוק שלנו כבר ביקרתם?
בפייסבוק שלנו כבר...
רוצים להיות תמיד מעודכנים במה שקורה בתפוז?
בפייסבוק שלנו כבר ביקרתם?
בפייסבוק שלנו כבר...
רוצים להיות תמיד מעודכנים במה שקורה בתפוז?

מקרא סימנים

בעלת תוכן
ללא תוכן
הודעה חדשה
הודעה נעוצה
אורח בפורום
הודעה ערוכה
מכיל תמונה
מכיל וידאו
מכיל קובץ