לגלישה באתר בגירסה המותאמת לסלולאר
| הוספת הודעה
הגדרות תצוגה

הגדרות עץ הודעות

מאפייני צפייה

הצג טקסט בתצוגה
הצג תגובות באופן
עדכן
2476624,766 עוקבים אודות עסקים

פורום מתמטיקה

"המתמטיקה היא מלכת המדעים", אמר קרל פרידריך גאוס, גדול המתמטיקאים בכל הזמנים.מתמטיקה היא אמנות המחשבה הטהורה, ואם נרצה או לא היא שזורה בחיינו, בגלוי או מאחורי הקלעים. אני מזמין את קהל הגולשים לבקש ולתת עזרה בכל תחום במתמטיקה ובכל רמה, או סתם להעלות רעיונות ונושאים לדיון (במתמטיקה).זה המקום גם לחידות לוגיות, בעיות פתורות, בלתי פתורות ובלתי ניתנות לפתירה, ואפילו בדיחות מתמטיות (כן, יש כאלה).מה לא שייך לכאן? כל נושא שאינו מתמטי, אפילו אם הוא קשור למתמטיקה. אם ברצונכם לברר מה כלול בבגרות ארבע יחידות, ומה בחמש, אם אתם רוצים לדעת מתי מועד ב` באלגברה לינארית א` באוניברסיטה העברית, או אם אתם חייבים לגלות מי שם עכבר (אופטי) בתיק של המורה (למתמטיקה) - אנא השתמשו בלוחות "לומדים לבגרות" או "לומדים לתואר" בפורום, או פנו לפורום "לימודים ועוד", או לפורום "סטודנטים", המתאימים יותר לתכנים מסוג זה. גם דיונים בפיזיקה מקומם לא כאן, אלא בפורום "מדע פופולרי".כמו כן, אנא המנעו מהבאת הפניות לבעיות מספרים, כתחליף לציטוט הבעיה. הפניות כאלו אינן בנות משמעות למרבית הגולשים שאין ברשותם את הספר המדובר, ואינן תורמות לדיון.לרשותכם גם לוח "שעורים פרטיים" בו אתם יכולים לבקש ולהציע עזרה מקצועית בלימודי המתמטיקה בכל רמה.

הנהלת הפורום:

אודות הפורום מתמטיקה

"המתמטיקה היא מלכת המדעים", אמר קרל פרידריך גאוס, גדול המתמטיקאים בכל הזמנים.מתמטיקה היא אמנות המחשבה הטהורה, ואם נרצה או לא היא שזורה בחיינו, בגלוי או מאחורי הקלעים. אני מזמין את קהל הגולשים לבקש ולתת עזרה בכל תחום במתמטיקה ובכל רמה, או סתם להעלות רעיונות ונושאים לדיון (במתמטיקה).זה המקום גם לחידות לוגיות, בעיות פתורות, בלתי פתורות ובלתי ניתנות לפתירה, ואפילו בדיחות מתמטיות (כן, יש כאלה).מה לא שייך לכאן? כל נושא שאינו מתמטי, אפילו אם הוא קשור למתמטיקה. אם ברצונכם לברר מה כלול בבגרות ארבע יחידות, ומה בחמש, אם אתם רוצים לדעת מתי מועד ב` באלגברה לינארית א` באוניברסיטה העברית, או אם אתם חייבים לגלות מי שם עכבר (אופטי) בתיק של המורה (למתמטיקה) - אנא השתמשו בלוחות "לומדים לבגרות" או "לומדים לתואר" בפורום, או פנו לפורום "לימודים ועוד", או לפורום "סטודנטים", המתאימים יותר לתכנים מסוג זה. גם דיונים בפיזיקה מקומם לא כאן, אלא בפורום "מדע פופולרי".כמו כן, אנא המנעו מהבאת הפניות לבעיות מספרים, כתחליף לציטוט הבעיה. הפניות כאלו אינן בנות משמעות למרבית הגולשים שאין ברשותם את הספר המדובר, ואינן תורמות לדיון.לרשותכם גם לוח "שעורים פרטיים" בו אתם יכולים לבקש ולהציע עזרה מקצועית בלימודי המתמטיקה בכל רמה.

מבוא בסיסי לטריגונומטריה

מאת: טלמון סילבר  פורסם: 23/05/2005  עדכון אחרון: 09/09/2006  
 
נתחיל ממשולש ישר זווית: שתי צלעות שלו מאונכות זו לזו, וקוראים להן ניצבים. לצלע הגדולה, הנמצאת מול הזווית הישרה (שהיא שווה ל-90 מעלות), קוראים יֶתֶר.

שתי הזוויות האחרות, אלו שמול הניצבים, הן חדות, פחות מ-90 מעלות, וסכומן שווה בדיוק 90 מעלות (סכום שלוש הזוויות של כל משולש הוא 180 מעלות).

משולשים ישרי זווית יכולים להיות שונים זה מזה בצורתם בגלל הגודל השונה של הזוויות החדות.

שתי דוגמאות:

1. הזוויות החדות שוות ביניהן, כלומר שוות שתיהן 45 מעלות. משולש כזה מתקבל כאשר חותכים ריבוע לאורך האלכסון שלו. בעצם מתקבלים שני משולשים כאלה. משולשים אלה הם גם שווי שוקים: הניצבים שווים ביניהם.

2. אם נחתוך משולש שווה צלעות (במשולש כזה כל הזוויות שוות 60 מעלות) לאורך הגובה שלו, מתקבלים שני משולשים ישרי זווית, שזוויותיהם 90, 60, 30 מעלות.

בדוגמה השנייה, במשולש ישר הזווית עם הזוויות 90, 60, 30 מעלות, שנוצר כאשר חתכנו משולש שווה צלעות לאורך הגובה שלו, הניצב הקטן, זה שמול הזווית 30 מעלות, הוא חצי מהצלע המקורית של המשולש שווה הצלעות.

היֶתֶר של משולש ישר זווית זה, הוא בדיוק אחת הצלעות המקוריות ההן. כלומר, במשולש ישר הזווית הזה, אורך הניצב שמול זווית ה-30 מעלות, הוא מחצית אורך היֶתֶר.

תכונה מעניינת מאוד של משולשים ישרי זווית היא משפט פיתגורס המפורסם (גם המשפט מפורסם, גם פיתגורס מפורסם). צייר משולש ישר זווית כלשהו. על כל אחת מצלעותיו תניחי ריבוע, שאחת מצלעותיו היא בדיוק צלע המשולש. נוח יותר לצייר את הריבועים מחוץ למשולש. לכל אחד משלושת ריבועים אלה יש צלע משותפת עם המשולש.

לפי משפט פיתגורס, סכום שטחי שני הריבועים הקטנים יותר, אלה שנבנו על הניצבים של המשולש ישר הזווית, שווה לשטח הריבוע הגדול, שנבנה על היתר. ישנן דרכים רבות להוכחת משפט זה, למשל בעזרת "משפט המכנסיים".

אם אורכי הניצבים של המשולש הם a ו-b, ואורך היתר c, אז הביטוי האלגבראי של משפט פיתגורס הוא: a בריבוע + b בריבוע = c בריבוע.

a² + b² = c²


יש דבר כזה: משולשים דומים. זה משולשים שזוויותיהם שוות בהתאם, וכן היחס בין צלעותיהם (הגדרה עודפת: די להגדיר חלק מתכונות אלו, האחרות נובעות מהן).

ברור, שכל המשולשים ישרי הזווית שזוויותיהם החדות שוות בהתאם, למשל כל המשולשים בעלי הזוויות 90, 60 ו-30 מעלות, דומים ביניהם. היחס בין צלעותיהם לא תלוי באורך הצלעות. רק בזוויות. למשל התכונה שאורך הניצב מול זווית 30 מעלות הוא מחצית אורך היתר, אינה תלוייה בגודל המשולש. רק בצורה שלו. כלומר בזוויות שלו.

לכן המציאו את הפונקציות המאפיינות את הזווית בלבד:

סינוס של זווית (חדה) הוא יחס אורך הניצב שמול זווית זו, לאורך היתר. למשל סינוס של 30 מעלות שווה 0.5.

קוסינוס של זווית חדה הוא היחס בין אורך הניצב הצמוד לזווית, לאורך היתר. למה שווה קוסינוס של 60 מעלות? ציירי שוב את המשולש עם הזוויות 90, 60, 30 מעלות, ותראי שקוסינוס 60 מעלות זה בדיוק (לפי ההגדרה!) סינוס של 30 מעלות, כלומר גם כן חצי.

ובכלל, עבור כל זווית חדה A, נכונות הנוסחאות הפשוטות הבאות:


(sin(90°-A) = cos(A
(cos(90°-A) = sin(A


אם צלעות משולש ישר זווית שוות a, b, c (היתר c, הניצבים a, b), והזוויות החדות שוות A (מול הניצב a) ו-B (מול הניצב b), אז לפי ההגדרה:


sin(A) = a/c
sin(B) = b/c

cos(A) = b/c
cos(B) = a/c

ומכאן תכונה פשוטה נוספת:


sin(A)]² + [cos(A)]²]
או כפי שנהוג לכתוב זאת
sin²(A) + cos²(A) = (a/c)² + (b/c)² = (a² + b²) / c²

עכשיו ניזכר שלפי משפט פיתגורס:


a² + b² = c²
ולכן
sin²(A) + cos²(A) = (a² + b²) / c² = c² / c² = 1

עבור כל זווית חדה A. עכשיו אפשר לומר, למשל, למה שווה קוסינוס של 30 מעלות (או סינוס של 60 מעלות):


=(cos(30°) = sqrt(1-sin²(30°)) = sqrt(1-(1/2)²) = sqrt(1 - 1/4
sqrt(3/4) = sqrt(3) / sqrt(4) = sqrt(3) / 2=


צייר משולשים ישרי זווית שונים ושימי לב: ככל שהזווית חדה יותר, הסינוס שלה קטן יותר. אם הזווית שואפת ל-0 מעלות, אז גם הסינוס שלה שואף ל-0.

הקוסינוס מתנהג בדיוק להיפך: ככל שהזווית נעשית חדה יותר, "שואפת ל-0", הצלע הצמודה לזווית והיתר "שואפים להתמזג", היחס ביניהם שואף ל-1.

ולהיפך: ככל שהזווית החדה מתקרבת ל-90 מעלות, כן הקוסינוס נעשה קטן יותר ושואף ל-0, והסינוס גדל ושואף ל-1. בכל אופן, אנחנו כבר יודעים, שסכום הריבועים שלהם כל הזמן שווה 1, לכן זה ברור שכשאחד מהם גדל אז השני קטן ולהיפך.

כמובן, כל עוד אנו מדברים על זוויות חדות (כי קיימת הרחבה של המונחים "סינוס" ו"קוסינוס" גם לזוויות אחרות), אז הערכים של (sin(A ושל (cos(A הם בין 0 ל-1.


פונקציה טריגונומטרית נוספת היא טנגנס. אפשר להגדיר אותה (אנו מדברים עדיין על זוויות חדות בלבד, במשולש ישר זווית) בשתי דרכים כאילו שונות, אבל ברור שהגדרה אחת נובעת מתוך השנייה:

1. היחס בין אורך הניצב שמול הזווית, לאורך הניצב הצמוד לזווית.
2. היחס בין סינוס הזווית לקוסינוס הזווית.

נחזור לאותו המשולש עם הניצבים a ו-b מול הזוויות החדות A ו-B בהתאם, והיתר c.


sin(A) = a/c
cos(A) = b/c

tan(A) = a/b

tan(A) = sin(A) / cos(A) = (a/c) : (b/c) = a/b


לגבי הטנגנס אי אפשר לומר שהוא תמיד קטן מ-1. תלוי איזה ניצב אנחנו מחלקים לאיזה ניצב.

במשולש ישר הזווית שווה השוקיים עם הזוויות 90, 45, 45 מעלות, הניצבים שווים ביניהם, לכן:


tan(45°) = 1


ומכיוון ש:


sin(30°) = cos(60°) = 1/2
sin(60°) = cos(30°) = sqrt(3) / 2


אז:


tan(60°) = [ sqrt(3)/2 ] : [1/2] = sqrt(3) > 1
tan(30°) = [1/2] : [ sqrt(3)/2 ] = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3


תרגיל נוסף: למה שווים סינוס וקוסינוס 45°?

ראשית, נציין שהם שווים ביניהם, לפי הגדרת הסינוס והקוסינוס (היות והניצבים שווים).
דרך ראשונה: הניצבים שווים a. לפי משפט פיתגורס, היתר:


c² = a² + a² = 2a²
(c = a sqrt(2
sin(45°) = cos(45°) = a/c = a / (a sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2


דרך שנייה היא (היות והסינוס והקוסינוס של 45 מעלות שווים):


sin²(45°) + cos²(45°) = 1

1 = (sin²(45°) + cos²(45°) = sin²(45°) + sin²(45°) = 2 sin²(45°

sin²(45°) = 1/2

sin(45°) = cos(45°) = sqrt(1/2) = 1/sqrt(2) = sqrt(2) / 2


פונקציה טריגונומטרית נוספת היא קוטנגנס:


(cot(A) = b/a = cos(A) / sin(A) = 1 / tan(A

tan(A) cot(A) = 1

(tan(90°-A) = cot(A
(cot(90°-A) = tan(A


ובזה מסתיים החלק הבסיסי.

המשכים אפשריים:
1. נוסחאות נוספות לא מסובכות, וכן פונקציות טריגונומטריות נוספות.
2. נוסחאות (שההוכחה שלהן כבר מסובכת) לסינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנס של סכום או הפרש של שתי זוויות.
3. הרבה מאוד נוסחאות שימושיות הנובעות ממס´ 2.
4. הרחבת המונחים "סינוס", "קוסינוס" וכו´ לכל זווית. יחידה אחרת למדידת זוויות (לעומת יחידת המידה "מעלות"): רדיאנים.
5. פונקציות טריגונומטריות הפוכות.

ועוד הרבה מאוד...



  4 תגובות למאמר
  
maldita lagrimaו | 18/09/2005 19:31:54
כל הכבוד!!!  
siro1ו | 28/12/2005 13:23:44
וואי  
דנדוש ומיטלוש17ו | 05/04/2006 18:09:31
יפה מאד  
gallalonו | 15/08/2007 04:41:08

הודעות אחרונות

20:44 | 13.08.19 הפרבולה
10:52 | 04.08.19 AnarchistPhilosopher
00:04 | 02.08.19 rafi6372
01:00 | 31.07.19 Want it pleasant
21:15 | 24.07.19 AnarchistPhilosopher
18:05 | 24.07.19 חקר הברק ממזרח
21:21 | 23.07.19 iritLit
19:15 | 13.07.19 עוגה עוגה
16:53 | 30.06.19 member20061
19:59 | 28.06.19 גדית55
04:03 | 26.06.19 basenew
16:40 | 21.06.19 אוזו רוזו קוקורוזו

חם בפורומים של תפוז

חפשו אותנו גם באינסטרגם
חפשו אותנו גם...
פודי תפוז - האינסטגרם החדש כל התמונות של...
חפשו אותנו גם באינסטרגם
חפשו אותנו גם...
פודי תפוז - האינסטגרם החדש כל התמונות של...
בפייסבוק שלנו כבר ביקרתם?
בפייסבוק שלנו כבר...
רוצים להיות תמיד מעודכנים במה שקורה בתפוז?
בפייסבוק שלנו כבר ביקרתם?
בפייסבוק שלנו כבר...
רוצים להיות תמיד מעודכנים במה שקורה בתפוז?

מקרא סימנים

בעלת תוכן
ללא תוכן
הודעה חדשה
הודעה נעוצה
אורח בפורום
הודעה ערוכה
מכיל תמונה
מכיל וידאו
מכיל קובץ