00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

פרבולה מחייכת

ביי ביי, מר קבוע פאי!

היום הוא יום הטאו הבינלאומי!


אני כותבת רשומה זאת חרף הידיעה מראש שרובו המוחץ של קוראיה לא ייקח אותי ברצינות[1]. למען הסר ספק- אני רצינית לחלוטין. הרעיון אינו שלי. איני יכולה לקחת עליו קרדיט, אבל בהחלט מדובר באחת ההברקות הגאוניות בהן נתקלתי לאחרונה: ביום הפאי האחרון (14 למרץ) שוטטתי לי ברחבי האינטרנט ונתקלתי במניפסט הטוען כי פאי הוא שגוי. כשקראתי אותו תחילה הייתי בטוחה גם אני כי מדובר באיזו בדיחה מאוד מאוד מושקעת, אבל ככל שהמשכתי לקרוא הדברים התבהרו- זו לא בדיחה. זה הגיוני.

          זהו המסך שלי באייפון                                  זו ההקדשה שהביאו לי הבנות
                                                                        המדהימות שלי במכינה שנה שעברה

                     

כפי שאתם רואים אני אשת-פאי בכל רמ"ח איבריי. אוהדת טבעית של אחד המספרים הטהורים ביותר מתמטית. ככזו- אין לי כל אינטרס לנסות לקדם איזו אג'נדה שקרית אך ורק בשביל הצחוקים. אז ראשית אנסה לשכנע אתכם שיש בכלל טעם לדון על הצורך להיפרד יפה מפאי. בואו נדבר על המושג "שלם".

השלם היחיד
אם מתמטיקה נועדה למצוא את הדרכים הכי פשוטות לביצוע אלגוריתמי כלשהו, למצוא פירמול כלשהו, ובמקום להתעכב שעות על כל סוגייה בנפרד- למצוא את סט התכונות המשותפות להן כך שההתייחסות הפרטנית תהיה פשוטה ומהירה ככל האפשר- הרי שהשלם הוא המפתח לכל הסיפור.
אם אנחנו מבינים מה קורה עבור השלם היחיד- ממנו קל מאוד להגיע לכל המספרים האחרים- טבעיים, שלמים, רציונאלים, אי רציונאלים... מדובר בעוד צעד לוגי קטן אחד. זו הסיבה שבטריגונומטריה לומדים את מעגל היחידה. כי אם כשהרדיוס שלי הוא 1 אני מקבלת ביטוי מתמטי מסויים- כל מה שעלי לעשות במעגל שהרדיוס שלו הוא 157 זה לכפול את הביטוי שקיבלתי קודם ב157 וזהו. זוהי שלמות השלם.
לדוגמא, נביט בביטוי: 2X=6 . מה הדבר הראשון שעולה בראש? נכון- למצוא את X.
אבל למה? מה הבעיה עם הביטוי המקורי שנתתי? למה לא להישאר עם 2X? מה רע?
האמת שכלום. אין בעיה להשאר עם ביטוי לא יחיד, אבל אז נשאלת השאלה במה הוא יותר טוב מהביטוי 3X=9 ? או 4X=12? למה שנבחר דווקא בו?
ונניח שאנחנו באמת נשארים עם הביטוי 2X=6. אז כמה שווה 157X? איך אני מגיעה לערכו המספרי? אני יכולה להכפיל ב-78.5, אבל ממש לא פשוט לחשב את זה, או שאפשר פשוט להכפיל ב157 ואז את התוצאה לחלק ב-2, אבל.... תסכימו איתי שזה מסובך.
הרבה יותר מסובך מאשר אם נפשט את הביטוי המקורי ונקבל X=3. אז נדע כמה שווה הערך של X שלם אחד ויחיד, וככה אם נרצה לדעת את הערך של 157X כל מה שעלינו לעשות זה רק לכפול ב-3. צעד לוגי קטן אחד ופשוט. כמה נעים. זהו הקסם שבשלם היחיד.

מחדלי העבר
איני מעריצה גדולה של מערכת החינוך הפורמלית ככלל[2]. מעטים הביטויים הברורים כל כך לכשל המערכתי הזה שנקרא "משרד החינוך" כמו הוראת המתמטיקה. בולט יותר מכל הוא נושא הרדיאנים. פתאום בכיתה י"א, כרעם ביום בהיר, מפסיקים למדוד זוויות במעלות (אותן ניסה התלמיד ללמוד מאז כיתה ג' בערך) ומתחילים לדבר על זוויות כשברים של פאי. תלמיד ממוצע מכיר את פאי בתור "נו... 3.14 הזה"- מה שנקרא אורך, ורוב המורות לא רואות לנכון לפשר את הטראומה בה אנחנו מתחילים לשלב בין אורכים לזוויות. הן לא יענו לתלמיד שיישאל מה הקשר- ובטח שלא יעשו את הדבר הנכון ויתחילו את הנושא בהסבר קצר. הרבה יותר מדי מורות שמלמדות כיום מתמטיקה פורמלית- פשוט לא יודעות למה. "זה ככה כי ככה זה. ההסבר ארוך ומייגע ואין לנו זמן להוכיח אותו. פשוט קבל זאת כעובדה".
כל כך עצוב לראות איך לקחו את המקצוע המדהים שנועד לפרוץ את גבולות המוח האנושי, לקדם אותו ולאתגר אותו כפי ששום דבר אחר לא עושה, ודיכאו כל חלק יצירתי בו. לחלוטין.
לא מלמדים תלמידים טריגונומטריה- מכריחים אותם לשנן אינסוף נוסחאות וזהויות.
לא מלמדים תלמידים מה זה פאי ומה הקשר בין צורתו הזוויתית והאורכית, כי זה מצריך מהם לחשוב.
לא מלמדים תלמידים לחשוב.
לא מלמדים תלמידים.
ובכן ההסבר הארוך והמייגע שאין למורה ממוצעת זמן להראות אותו בכיתה, הוא למעשה מאוד פשוט- כולנו מכירים את נוסחאת היקף המעגל:  - 2 -pi R = P. אם מחלקים את שני האגפים ב2R נקבל שπ זה בעצם היקף המעגל חלקי גודל הקוטר שלו שזה 3.14 עבור כל מעגל בכל גודל שהוא. אבל אם נביט בתמונה הזו:

נראה את הקשר בין הזווית שבחרנו לחלק היחסי של היקף המעגל שמתאים לה. אורך הקשת נקבע ע"י גודל הזווית, ומכאן תפקידו הכפול של פאי. אבל קשה להבין את זה ברדיאנים כי לזווית 2/π  (מה שאנחנו רואים כ90 מעלות) מתאימה קשת של רבע מעגל (הרבע הימיני העליון, ליתר דיוק). כשחצי מתאים לרבע- קל לראות שמשהו לא מסתדר. יש בעיה. הבעיה היא שמלכתחילה הגדרנו את פאי להיות גודל הקשור לקוטר, כשבעצם החל בהגדרתו וכלה בנפחו כל אספקט אחר של מעגל מחושב באמצעות הרדיוס. רדיוס ולא קוטר.
אם הסכמנו שבמתמטיקה אנחנו תמיד מחפשים את השלם, והסכמנו שבמעגל השלם הוא... אה... המעגל, ברור שאנחנו אמורים להיות יכולים בצעדים פשוטים להבין איך חלק מהמעגל (תחשבו עליו כעל עוגה עגולה) נחתך בהתאם לזווית שיוצרת אותו. לא ברור בכלל למה חצי פאי שווה לרבע מעגל. מה המשמעות של זה?!

תקווה חדשה
פאי הוא פאי ומשתמשים בפאי מאותה סיבה שהרומאים השתמשו בספרות הרומיות הלא נוחות שלהם- פשוט כי הם לא הכירו משהו טוב יותר. בואו ננסה להגדיר קבוע חדש וטוב יותר עבורנו בהתעסקות עם זוויות ורדיאנים. נסתכל על אותו היקף של המעגל: - 2 -pi R = P, רק שהפעם נזכור שדברים במעגל נקבעים באמצעות הרדיוס, ולכן נחלק את שני האגפים בR. קיבלנו שהיקף המעגל חלקי הרדיוס שלו שווה ל2π , ולקבוע הזה נקרא בשם חדש: τ (טאו). האות היוונית הזו דומה במראה לפאי. מאחר וקבענו כי τ = 2π, ברור כי π ~ 3.14 גורר ש  τ ~ 6.28 . עד כאן נושא מדידת האורך. עכשיו בואו נבחן מה קורה לזוויות במעגל שלנו:

עכשיו הכל הרבה יותר הגיוני! את הרבע הראשון של המעגל מייצגת זווית בגודל רבע טאו (בשרטוט- טאו חלקי 4), את השליש הראשון של המעגל מייצגת שליש טאו, חצי מעגל- חצי טאו, שלושת רבע מעגל- שלושת רבע טאו ומעגל שלם... ניחשתם נכון... טאו שלם אחד. מושלם. תארו לכם כמה קל זה גם למי שלא הכי מבריק במתמטיקה להבין שחלק יחסי של המעגל זה פשוט החלק היחסי שלו בכל הזוויות במעגל. כמה נוח יהיה לכל אחד להבין את המעגל הטריגונומטרי, מעגל היחידה, כשהוא פשוט רואה איזו זווית  יוצרת את הנקודה המדוברת ורואה באיזה גובה או מרחק היא נמצאת באופן מיידי. בלי ההמרה הטיפשית הזו של לחלק/להכפיל פי 2, זה הופך להיות כל כך פשוט שאולי, חס וחלילה, תלמידים יתחילו להבין טריגונומטריה. להבין, ולא להרגיש אבודים כי הם אף פעם לא זוכרים אם sinπ זה 0,1 או 1-. אף אחד אף פעם לא הסביר להם למה שזה יהיה ככה או ככה... אז הם פשוט משננים, או לפחות מנסים. איזה כיף יהיה אם אנשים באמת יבינו מה הם עושים, ולא רק יעבדו כמו תוכי כי ככה המורה אמרה.

ההבדל בין חכם לגאון
כולנו יודעים מה ההבדל בין חכם לפיקח. בואו ננסה לעמוד על ההבדל בין חכם לגאון:
יש הרבה מאוד אנשים חכמים בעולם. לא רק בהווה אלא גם משחר האנושות. חכמים מסוגלים להבין בקלות יחסית עקרונות לקלוט נתונים ולעבד אותם בהתאם לעקרונות הקיימים. ככה זה להיות חכם. קל לך יותר מלרוב.
גאונות זה דבר אחר לחלוטין. גאון הוא אדם המערער על עקרונות קיימים, כאלה שאחרים מקבלים על עצמם ללא התנגדות (בין אם כי הם לא יכולים להבין את העקרון ובין אם כי מעולם לא ראו לנכון להקדיש זמן לבחון את הנושא לעומק). גאון שואל שאלות על דברים שאחרים רואים כמובן מאליו. 
גאונות היא מתנה מאוד ייחודית הניתנת למעטים בלבד- תמיד היו אנשים חכמים מאוד, אבל היה צורך בגאוניות הספציפית של ניוטון בכדי לערער על דבר שאנשים לפניו לא התפנו אפילו להרהר אודותיו- משהו שתמיד היה שם בנוף, ברקע, כל הזמן- כוח הכבידה. מיליארדי אנשים ראו תפוחים נופלים מעצים מאות של שנים לפניו. רק הוא שאל למה.
אנשים חכמים מאז ומעולם חקרו את נפלאות המרחב והזמן, אבל היה צורך בביצי הפלדה של איינשטיין בשביל לומר "רגע, חברים, כל מה שחשבנו עד היום זה בולשיט. הנה, ככה זה באמת..." והופ- לשמוט את הקרקע מתחת לכל מה שהנחנו על תנועה וזמן.
גאון שואל שאלות שחכם לא מבין מה השאלה פה.
הרשו לי לסייג, אני לא משווה את תורת היחסות או את חוקי ניוטון למעבר בין פאי לטאו. ממש לא. להכפיל מספר קבוע ב-2, אומנם יכול לעשות דברים יותר קלים עבורנו, אבל קשה לי להאמין שזה ישנה מעשית את התפיסה שלנו אודות איזושהי אמת חמקמקה שהצליחה להשאר עלומה מעיניינו עד היום. נכון, אבל הראייה הזו, הערעור הזה, ומתן האלטרנטיבה הנקייה והפשוטה- זו תכלית קיום המתמטיקה. וזו, בעיני, גאונות צרופה. אולי לא מגיעה לבחור מדליית פילדס, אבל לפחות פרס נובל לשלום. ;)

מה ניתן לעשות
עכשיו, אחרי שכולנו פה תומכים נלהבים של טאו, אתם וודאי שואלים עצמכם איך אפשר לקדם את טאו ולקחת חלק במאבק לפשטות מתמטית? ובכן, עלינו לעבוד סימולטנית בכמה מישורים:
ברמה ההסברתית עלינו להגן עליו בסבלנות מפני אנשים שייאבקו בחירוף נפש על מה שמוכר וידוע להם. עלינו להראות להם מדוע הוא כה הרבה יותר טוב ונכון מפאי.
ברמה הפרקטית עלינו להבין שאנחנו הוא דור המתמטיקאים הבא. השינוי חייב להתחיל בנו. במאמרים האקדמאים שלנו, בהרצאות שלנו, בקבוצות הלימוד שלנו- עלינו להתחיל ליישם את השימוש בטאו. גם אם הקהילה הבכירה יותר של המתמטיקאים יביעו זלזול בקונספט- כל עוד נציין בתחילת דברינו "לשם הנוחות נגדיר קבוע טאו להיות שני פאי" איש לא יוכל לטעון שעשינו דבר מה שגוי- ולאט לאט זה יחלחל גם לעולם האקדמי הטהור.
ברמה החינוכית עלינו לזכור שתלמידים מחפשים את הפשטות הזו. הם כמהים להגיון ברור ברדיאנים. עלינו לחשוף אותם לזה ולהראות להם את הדרך- למען ייזרעו גם הם את המושג בעולם הקדם-אקדמי, וטאו יתחיל להיות שם כבר מגיל צעיר.

יש לי חלום. 
בחלומי כל אחד יהנה מטריגונומטריה ויתאהב בגאונות המושלמת המתמטית שבה.
שריינו לכם ביומנים כבר מהיום- מעתה ולעולם: 28 ליוני- יום הטאו הבינלאומי.
π מת! יחי τ החדש!

!cuz only τ knows how

ולחובבי האנגלית שבכם- סרטון קליל:

 

_____________________________________________________________________________________

[1] זו בעיה כללית שיש לי בחיי- אנשים לא לוקחים את דברי ברצינות. תמיד חושבים שאני מתבדחת. לא יודעת למה... אנטישמים שוביניסטים מיזנטרופים כולם. אולי אצא במחאה. צריכה לזכור לקנות טושים ובריסטול.

[2] אני רואה בה גורם מסרס ומדכא. ממש לא מגרה, מכיל ומפרה כפי שאמור להיות כל מה שמחנך אותנו בגיל צעיר. 

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

53 תגובות

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל just GL אלא אם צויין אחרת