00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

פרבולה מחייכת

פרדוקס מונטי הול

לאלו שמכירים- יופי לכם. לאלו שלא- מדובר במקרה מאוד יפה שמצליח להטעות אפילו מתמטיקאים מנוסים. בדרך כלל האינטואיציה (או ההגיון הפשוט, אם תרצו) עוזרת לנו לפתור בעיות ולצאת ממצבים שקשה להבין עד הסוף. הפרדוקס של מונטי הול הוא דוגמה נגדית- ההיגיון הפשוט מטעה אותנו. האינטואיציה משקרת לנו. מקורו במשחק מזל אמריקאי שהנחה... חכו לזה... מונטי הול! (לגרסא הישראלית קראו "עשינו עסק" והנחה אותה אברי גלעד). בסוף המשחק המנחה הציג שלושה וילונות' מאחורי שניים מהם עמד דחליל, ומאחורי אחד עמדה מכונית חדשה. המתמודד התבקש לבחור וילון, ואחרי שהוא בחר המנחה פתח את אחד הוילונות שלא נבחרו ושאל את המתמודד האם ברצונו להחליף.

בואו נדבר קצת על מתמטיקה באופן כללי. אין דבר יפה יותר או טהור יותר ממתמטיקה, נכון? נכון! שמחה שהסכמנו. תמיד אהבתי מאוד מתמטיקה והבנתי די מהר את העקרונות על פיהם היא פועלת. הסתברות לא הייתה שונה, למרות שהיא סוג של שקר גס. למה? ובכן.. מהי בעצם מהותה של ההסתברות? הסתברות היא איזשהו כלי פיקטיבי שנוצר על ידי האדם בניסיון נואש לחזות את העתיד, או לפחות לקבל תמונת מצב יותר ברורה על המשקל היחסי של כל אחת מהאפשרויות הקיימות- להתממש. ובעוד שאני בזה להסתברות באופן בדיד (כי אם משהו קורה לך, הוא קורה בהסתברות 1 ולמי אכפת מה היה המשקל שלו בסל האפשרויות המקורי) - היא הבסיס לסטטיסטיקה, ואנחנו די זקוקים לסטטיסטיקה כדי לפעול באופן אופטימלי כחברה. טוב. שיהיה.
ועדיין... כשהציגו לי לראשונה את פרדוקס מונטי הול, ביטלתי אותו מכל וכל. יתרה מזאת- ניסיתי להוכיח מתמטית שהפתרון האינטואיטיבי הוא גם הנכון. אבל כמה שלא ניסיתי- המספרים פשוט לא הסתדרו. ואז הבנתי מה שאני כבר שנים מסבירה לחניכים שלי- לא מעניין את המתמטיקה לאיזה פתרון אנחנו רוצים להגיע. היא מגיעה רק למה שנכון.

לכאורה הסתברות לא יכולה להתמודד עם מידע חדש (הסכמנו כבר שהסתברות נוצרה כדי לבחון איך כדאי להתנהג במצב של חוסר ידיעה) אבל זה לא בדיוק נכון. ההסתברות לרוב יכולה להתמודד עם מידע חלקי חדש כלשהו, רק שבדרך כלל המצבים בחיי היומיום פועלים סימטרית למידע חדש. לדוגמה, במבחן אמריקאי יש 4 אפשרויות. במידה ואיננו יודעים את התשובה הנכונה ננחש אקראית, ואז לכל תשובה יש הסתברות 1/4 להיות התשובה הנכונה. כל זה נכון וטוב ויפה, אבל לא מדוייק- כי אם אני אסתכל על התשובות ואצליח לפסול כמה מהן בשיטת האלימינציה אני אוכל להתקרב יותר לפתרון הנכון של השאלה. כלומר, אם אני יודעת בוודאות שתשובה ג' אינה נכונה, עכשיו ההסתברות של כל אחת משאר התשובות היא 1/3... שזה סיכוי יותר טוב... ואם אצליח לפסול עוד אחת תהיה לכל אחת משתי התשובות הנותרות שלי הסתברות 1/2 להיות נכונה... שזה כבר ממש הרבה בהתחשב בזה שאני בכלל לא יודעת את התשובה והתחלתי עם ארבע תשובות והסתברות רנדומלית של 1/4 לכל אחת.

ולביזנס עצמו

בפרדוקס מונטי הול, לעומת זאת, קורה משהו קצת שונה: בשלב הראשון יש שלושה וילונות ולכן לכל אחד מהם יש סיכוי של 1/3 להיות הוילון עם המכונית. המתמודד בוחר וילון (ובהסתברות 1/3 מדובר בוילון הנכון) ועד כאן הכל מובן. רק שפה קורה הדבר המטעה- המנחה פותח וילון אחד שיש מאחוריו דחליל ונותן למתמודד אפשרות להחליף את הוילון הנבחר בוילון הנותר. לכאורה בשלב הזה המתמודד שוב פעם נמצא במצב סימטרי- יש לו שני וילונות ונראה לנו שזה אומר שמאחורי כל וילון יש מכונית בהסתברות 1/2. ממש כמו בהתחלה כשהיו שלושה וילונות. אבל זה לא נכון. מתוך הנחה שהמנחה תמיד פותח וילון עם דחליל, ותמיד נותן למתמודד את האפשרות להחליף- תמיד כדאי למתמודד להחליף כי מאחורי הוילון שהוא לא בחר בהתחלה יש מכונית בהסתברות 2/3.

למה? נשמע מוזר. יותר מזה, סותר לגמרי את מה שאמרתי קודם על התשובות עם המבחן, נכון? אז זהו... שלא. 
מאחר ויצא לי לדבר עם לא מעט אנשים שונים בעניין, וכל אחד הבין את זה בצורה אחרת- אנסה לתקוף את זה מכמה זוויות שונות:

  1. קודם כל קשה להבין את העובדה שהמנחה לא מספר לנו שום דבר חדש. נראה לנו שכמו בשאלות במבחן, בזאת שהוא פסל לנו וילון אחד הוא בעצם העניק את המשקל שלו באופן זהה לשניים הנותרים. אבל זה לא נכון- כשבחרנו מלכתחילה את הוילון שלנו ידענו בוודאות שקיים לפחות וילון אחד מבין השניים הנותרים שיש מאחוריו דחליל. אין שום דבר מיוחד בוילון הספציפי שהמנחה בחר. אם מאחוריו הייתה מכונית- המנחה פשוט היה פותח את הוילון השני שלא בחרנו (בניגוד לתשובות שאם פסלנו את סעיף ג' זה רק כי הוא מיוחד- אנחנו יודעים בודאות שהוא לא נכון, ואי אפשר להחליף את המידע עליו בסעיף אחר שנמצא במקום אחר). כלומר, כאשר המנחה פותח וילון ושואל אם ברצוננו להחליף, הוא בעצם לא נותן לנו לבחור בין הוילון המקורי שבחרנו לבין הוילון שנותר סגור- הוא נותן לנו לבחור בין הוילון המקורי שבחרנו לבין שני הוילונות שלא בחרנו.
     
  2. לא השתכנעתם? לא מאשימה אתכם... זה בדיוק ההסבר ההגיוני מתמטית רק בניסוח מילולי. בואו ננסה גישה אחרת- תמיד כשהמתמטיקה מתחרפנת קצת- כדאי לנסות להסתכל רק על נקודת המוצא ביחס לנקודת הסיום. אם אני מתמודדת שתמיד מחליפה וילון אז מה בעצם קורה לי? אם בבחירה המקורית שלי טעיתי, אז זכיתי. אם בבחירה המקורית שלי צדקתי, אז הפסדתי... אבל מה ההסתברות שלי להיות צודקת בבחירה המקורית? 1/3! ומה ההסתברות שלי לטעות? 2/3!
    זאת אומרת שאם אני מחליפה אני בהסתברות 2/3 טועה וזוכה.

  3. עדיין לא משוכנעים? טוב... אני מניחה שזה כי מפריע לכם השלב הזה של "האמצע" זה שאני בחינניות אין קץ התעקשתי להתעלם ממנו עד עכשיו- השלב בו המתמודד נאלץ להכריע בין הוילון שלו לוילון הנותר. שני וילונות... חצי-חצי... אין יותר הגיוני מזה! נכון?
    בואו נסתכל על מצב נוסף בו אנו בוחרים בין שני וילונות. בואו נשחק אותו משחק רק עם מיליון וילונות, מאחורי אחד יש מכונית ומאחורי כל השאר- דחליל. סבבה? סבבה. 
    המנחה נותן לנו לבחור וילון. אנחנו בוחרים אחד (שהוא הנכון בהסתברות 1/1,000,000. כלומר- ממש שואף ל-0). המנחה פותח לנו 999,998 וילונות ומשאיר אותנו עם שניים סגורים- הוילון שלנו שבחרנו והאחד שהוא לא פתח. המנחה מציע לנו להחליף. עכשיו, אם נבחר שלא להחליף, מה אנחנו בעצם טוענים? אנחנו טוענים שאנחנו מאמינים שבבחירה המקורית שלנו, עוד כשהיו מיליון וילונות, אנחנו בחרנו את הוילון הנכון! טענה... חמודה מאוד... אבל נראה לי שרובנו ככולנו מבינים שהיא לא בדיוק סבירה. אז במילים אחרות- אם נחליף, בהסתברות מאוד קרובה ל-1 (999,999/1,000,000) אנחנו לוקחים הבייתה מכונית. אבל רגע... גם כאן הייתה לנו בחירה בין שני וילונות! בדיוק כמו המקרה הרגיל של ה-3 וילונות, אבל איכשהו כאן הרבה יותר ברור לנו שהמשקל היחסי של כל הוילונות שהמנחה פתח עבר לוילון שהוא השאיר סגור ולא להחליף זה ממש לוותר על המכונית כמעט בוודאות.
     
  4. טוב בסדר, בסדר בסדר! אם אתם מתעקשים על חישובים- בואו נחשב. רק אציין שיש חישובים הרבה יותר קצרים ומהירים, אבל הם דורשים כלים הסתברותיים מורכבים יותר (כמו "בהינתן") וכלים מתמטיים פחות אינטואטיבים (כמו "ללא הגבלת הכלליות"). אני בחרתי לעשות חישוב ישיר של כל ההסתברויות כדי שאף אחד לא ירגיש שהתעלמתי ממצב אפשרי כלשהו. קודם כל נצטרך להגדיר חישוב הסתברותי פשוט:
    מאורעות בלתי תלויים הם מאורעות שיכולים להתקיים כל אחד בנפרד, ועצם זה שמאורע מסויים קרה או לא קרה- לא משפיע על הסיכוי של האחר לקרות או לא לקרות. את ההסתברות ששני מאורעות בלתי תלויים ייקרו יחד מחשבים על ידי כפל ההסתברויות של כל אחד מהם לקרות לחוד.
    המאורע "וילון א' הוא הנכון" והמאורע "המתמודד בחר בוילון א'" הם מאורעות בלתי תלויים מאחר ומי ששם את המכונית מאחורי וילון א' לא עשה זאת בגלל או למרות שהמתמודד בחר בוילון א', והפוך- המתמודד לא בחר בוילון א' בגלל או למרות שהמכונית נמצאת מאחורי וילון א'. אותו דבר גם תקף עבור "וילון א' הוא הנכון" ו"המתמודד בחר בוילון ב'"- שני הדברים מתרחשים באופן שאינו משפיע אחד על השני.
    מאורעות זרים הם מאורעות שלא יכולים להתקיים בו זמנית. את ההסתברות שמאורעות זרים ייקרו מחשבים על ידי חיבור כל אחת מהאלטרנטיבות השונות שיכולות להתרחש.
    המאורע "וילון א' הוא הנכון וגם המתמודד בחר בוילון א'" והמאורע "וילון א' הוא הנכון וגם המתמודד בחר בוילון ב'" הם מאורעות זרים. לא יכול להיות ששניהם התרחשו בו זמנית. רק או זה או זה.
    ההסתברות של כל וילון להיות זה עם המכונית היא 1/3 (מי שבחר איפה לשים את המכונית בחר אקראית מבין שלושה וילונות). ההסתברות של כל וילון להיבחר על יד המתמודד היא 1/3 גם כן (המתמודד בוחר אקראית מבין שלושה וילונות). הבנו? מגניב. יאללה... חישוב:



  5. ואם עד עכשיו אתם עדיין לא מאמינים לי- קחו שלושה קלפים, תחליטו על אחד מהם שיהיה הזכייה (נגיד מלכה) ושחקו עם חבר. תיווכחו לראות שאחרי 10 משחקים כאלה, אם תמיד החלפתם- זכיתם בערך 6-7 פעמים.

אגב, גם אחרי שמתמטיקאים הסבירו לאנשים את העניין ההסתברותי- עדיין לא כולם החליפו כשהמנחה הציע להם, למרות שהוא הציע ממש כל פעם. למה? אם תשאלו אותי, המחיר הנפשי של לא להחליף ולא לזכות באוטו פחות כבד לנו כי מלכתחילה כשבאים לשחק יוצאים מנקודת הנחה שסביר להניח שנפסיד. לעומת זאת, המחיר הנפשי של להחליף ולא לזכות באוטו הוא ממש בלתי נסבל. המחשבה הזו שהוא היה לנו בין הידיים ואיבדנו אותו כי סמכנו על כל מיני מתמטיקאים מטומטמים... יכולה להטריף את הבנאדם. אז הוא יעדיף להאחז חזק חזק במה שכבר יש לו בידיים... גם אם זה באופן מובהק פחות טוב.

ומה הכי מרגיז בכל הסיפור? שיש מקרה הסתברותי שנקרא "הפרדוקס של מונטי הול"! מי ששומע את זה בטח חושב שמונטי הול הוא איזה מתמטיקאי דגול שהצליח לפתור איזה פרדוקס מרשים! מנחה שעשועונים נמצא שם בהיכל התהילה האקדמאי יחד עם "המשפט האחרון של פרמה" ו"הקריטריון של קושי"... פשוט חרפה.
טוב... בעצם... הם אף פעם לא הביאו לאף אחד מכונית.

 

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

57 תגובות

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל just GL אלא אם צויין אחרת