00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

{ [ ( בניית עזר ) ] } - מתמטיקה, תכנות, סיכומים לבחינות הבגרות ואקסל

<<<<
 
   מתמטיקה 
   ונושאים 
   נוספים 
 
משפטים, נוסחאות ומתמטיקאים על ציר הזמן  תורת המספרים  תכנות C++/C  קומבינטוריקה  מתמטיקה/EXCEL  אסטרונומיה

משפטים בגאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה - הדגמה ויזואלית ופתרונות לשאלות מהבגרות ומספרי הלימוד 
 
  אהרן מוריאלי  תורת המספריםסקירות מתמטיות-היסטוריות ספרים ריבועי קסם  הקסם שבמספרים מיהו מי-חידות היגיון רשימה
   המשפט האחרון של פרמה מספרי קרמייקל מספרים משוכללים מספרים ראשוניים פרפראות מתמטיות המספר ומחלקיו
   
מספרי מרסן   פעילויות בלוח הכפל  
  ערבית   לוחות פעלים במערכת הפעל הערבי, תחביר ודקדוק       -     טבלת אותיות וניקוד בערבית 
  סרגלי הפועל והתחביר הערבי - רות בן-אבי   -     חלוקה לוגית של האותיות בערבית - ניצה בינדר
  מאגר מת"ל-
  חומרי למידה
  אסטרטגיות למידה/הוראה/חשיבה/קריאה/אוריינות ---מדע וטכנולוגיה מתמטיקה פיזיקה כימיה גנטיקה     
  היסטוריה וציונות  יהדות  תנ"ך גאוגרפיה ---אזרחות ספרות---לשון   ערבית   אנגלית      
שכיחות אותיות בשפה העבריתפרדוקסים סמנטיים ולוגיים

מספרים ראשוניים - אהרן מוריאלי

רב תודות לסופר אהרן מוריאלי.

קישור לפרקים מלאים ודוגמאות מתוך הספר "ריבועי קסם"

קישור למדור "תורת המספרים" המכיל מידע רב ומאמרים מעודכנים בנושא באתר מת"ל.

המאמר דן באופן מעמיק בהבטים שונים של המספרים הראשוניים.

ראשי הפרקים:

הגדרת המספר הראשוני, הוכחת המשפט הבסיסי של האריתמטיקה,
דרכים לפירוק מספר לגורמיו הראשוניים, ניתוח התפלגות המספרים הראשוניים
לפי טבלאות פירוק (צפיפות המספרים הראשוניים), ההוכחה של אאוקלידס
לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, המרווחים בין המספרים הראשוניים,
סדרות של מספרים ראשוניים, סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים עוקבים,
גילויים של מספרים ראשוניים, הנפה של ארטוסתנס, צורתם של המספרים הראשוניים
וצורות מיוחדות של מספרים ראשוניים המיוצגות על ידי
מספרי מרסן, מספרי פרמה, מספרי וילסון ומספרי סופי ז`רמן.
בסוף המאמר נזכרות שאלות לא פתורות והשערות הקשורות למספרים הראשוניים.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

כקובץ טקסט:

מספרים ראשוניים
אומרים על מספר טבעי מסוים, a, שהוא מתחלק במספר טבעי אחר, b, אם קיים מספר טבעי שלישי, c, המקיים את השוויון a=bc. כך המספר 6 מתחלק ב-3, כיוון שקיים המספר 2, שאם נכפול אותו ב-3 התוצאה תהיה 6. במקרה זה אנו אומרים ש-b הוא מחלק או גורם של a.
מספר טבעי p הגדול מ-1, שאין לו מחלקים חוץ מאשר 1 ועצמו נקרא מספר ראשוני. המספרים: 2, 3, 5, 7, 11, למשל, הם מספרים ראשוניים. מספר הגדול  מ-1 שאיננו מספר ראשוני הוא מספר פריק, כי אפשר לפרקו ולהציגו כמכפלה של מספרים קטנים ממנו,  למשל 6, 8, 27, 35 ועוד.
המספר 1 לא נחשב למספר ראשוני (גם לא מספר פריק), אף כי בתולדות המתמטיקה היו מתמטיקאים שראו בו מספר ראשוני. ברשימה של 5600  המספרים הראשוניים הראשונים שפרסם בשנת 1933 מוסד מדעי בוושינגטון מתנוסס המספר 1 בראש הרשימה! סיבה טובה לא לכלול אותו בין המספרים הראשוניים היא שאילו כללנו אותו, היה מחייב הדבר להכניס שינוי ב"משפט הבסיסי של האריתמטיקה" (ראה להלן), האומר שאפשר לבטא כל מספר פריק כמכפלה של מספרים ראשוניים בדרך אחת ויחידה. לפי תנאי זה היה יוצא, למשל, ש-a*b*c לא שווה בדיוק ל- a*b*c*1 או ל-a*b*c*1*1*1. למתמטיקאי השוויצרי אוילר הייתה סיבה אחרת לדחות את הקביעה ש-1 יכול להיחשב למספר ראשוני. הוא מציין את העובדה שמספר המחלקים של כל מספר ראשוני הוא 2 – המספר עצמו ו-1. אם נחשיב את המספר 1 למספר ראשוני, הרי זה לא יהיה תואם את הכלל, כי למספר 1 יש רק מחלק אחד והוא המספר עצמו. הדרך הפשוטה ביותר ליישב את הסתירה היא לקבוע ש-1 איננו מספר ראשוני. בסופו של דבר אפשר לפטור את כל העניין בטענה ש"הכול עניין של הגדרה".
המשפט הבסיסי של האריתמטיקה
                             The Fundamental Theorum of Arithmetics
המתמטיקאי היווני הקדום אאוקלידס (350-‏300 לפני הספירה בקירוב) כתב ספר מונומנטלי בשם יסודות, שהוא ספר בן שלושה-עשר פרקים המכילים 465 משפטים מתחום גיאומטריית המישור והמרחב, וכן מתחום תורת המספרים. את פרק VII של ספרו הוא פותח ברשימה של עשרים ושתיים הגדרות של מונחים בסיסיים באריתמטיקה. אחרי ההגדרות באות שלושים ותשע טענות propositions שדנות, בין  השאר, במספרים ראשוניים ובמספרים פריקים. כמה מן הטענות קשורות לענייננו, ואלה הן (בניסוח שלנו):
א.    אם מספר ראשוני כלשהו מחלק את מכפלת המספרים m ו-n, אזי מספר זה מחלק לפחות אחד משני המספרים הנ"ל.            
ב.    אם מספר ראשוני מחלק מכפלה של כמה מספרים ראשוניים, הרי מספר זה חייב להיות זהה לאחד מהמספרים הראשוניים האלה. משפט זה נסמך על המשפט הקודם.
ג.    כל מספר הגדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני כלשהו. אם מספר זה הוא ראשוני בעצמו, הרי שהדבר מובן מאליו. ואם הוא פריק, הרי הגורם הקטן ביותר מבין הגורמים המרכיבים אותו הוא מספר ראשוני.
כעת אנו בשלים להוכיח את מה שקרוי בתולדות המתמטיקה המשפט הבסיסי של האריתמטיקה: כל מספר פריק, אפשר לבטאו בצורה אחת ויחידה כמכפלה של מספרים ראשוניים. במילים אחרות, כל מספר טבעי פריק ניתן לפרקו באופן חד-ערכי לגורמים ראשוניים. ניקח, לדוגמה, את המספר 60. הגורמים הראשוניים שמהם הוא מורכב הם: 2*2*3*5. המשפט הבסיסי אומר שאין שום דרך אחרת לפרק מספר זה לגורמיו הראשוניים - זולת האפשרות לכתוב אותם מספרים בסדר שונה. נוכיח משפט זה בדרך הבאה: לפי טענה ג`, אחד הגורמים של כל מספר פריק חייב להיות מספר ראשוני. אם הגורם השני הוא גם מספר פריק, הרי גם אותו אפשר לפרק למספר ראשוני ועוד מספר נוסף – וכך יוכל התהליך להימשך עד שמגיעים למצב שכל הגורמים המרכיבים את המספר המקורי יהיו מספרים ראשוניים.
כעת יש להוכיח שאפשר לעשות זאת רק בדרך אחת ויחידה. נוכיח זאת בדרך הבאה: נניח שיש שתי אפשרויות לפרק את המספר לגורמיו הראשוניים. באפשרות הראשונה יהיו הגורמים הראשוניים p1*p2*p3 ובאפשרות השנייה יהיו הגורמים הראשוניים q1*q2*q3; אבל לפי טענה ב לעיל כל אחד מהמספרים הראשוניים p1*p2*p3 חייב להיות זהה לאחד מהגורמים הראשוניים q1*q2*q3. בסופו של דבר זה אומר שסדרת המספרים הראשוניים הראשונה זהה לסדרת המספרים הראשוניים השנייה. כיוון שחוק החילוף חל על הכפל, אין שום חשיבות לסדר שבו ייכתבו המספרים הראשוניים האלה. מקובל לסדר אותם מהקטן לגדול.
פירוק לגורמים
 
אחת הדרכים לפרק מספר לגורמיו הראשוניים היא למצוא שני מחלקים כלשהם של המספר, אחר כך לבדוק את המחלקים: אם אחד מהם או שניהם הם מספרים פריקים, ננסה למצוא שני מחלקים לכל אחד מהמספרים, וכך להמשיך עד שנגיע לגורמים הראשוניים של המספר. בדוגמה הבאה פורק המספר 666 בשלושה אופנים, אבל בכולם הופיעו המספרים הראשוניים: 2, 3, 3, 37 – אם כי סדר הופעתם הוא שונה. על כן נוכל לומר בבטחה שהמספרים הראשוניים המרכיבים את המספר 666 הם אך ורק המספרים: 37*32*2 .
666            666            666
                   111              6                  3                      222              2                333
                37     3       3        2                             2           111                    9           37
                                                                                     37        3           3        3
דרך שיטתית מקובלת יותר היא לבדוק אם המספר הנתון מתחלק לכל אחד מסדרת המספרים הראשוניים, החל במספר הראשוני הקטן ביותר ואחר כך בגדולים ממנו לפי הסדר. נמשיך לחלק את המנה היוצאת עד שנגמור במספר 1:
666    2
333      3
111          3
37            37
1
על פי המוסבר עד כה ניתן להבין את האמרה המפורסמת שהמספרים הראשוניים הם לבני הבניין שמהן נבנים כל המספרים הטבעיים!
כאשר מוצע לנו מספר מסוים (n) לפירוק, לא יהיה צורך לבדוק בדרך שהצענו מספרים שהם גדולים מהשורש הריבועי של המספר בבואנו לחפש את הגורמים  הראשוניים שהוא מתחלק בהם, כיוון שאם נחלק מספר כלשהו לגורם factor שהוא גדול יותר מהשורש הריבועי שלו, התוצאה שתתקבל תהיה גורם נגדי cofactor, שהוא קטן מהשורש הריבועי של המספר – ולהפך. במילים אחרות, כאשר נבדק גורם כלשהו, ממילא נבדק גם הגורם הנגדי שלו. יוצא שבפועל אין צורך להעמיד לבדיקה גורמים שהם גדולים מהשורש הריבועי של המספר. בדוגמה לעיל גורמי המספר והגורמים הנגדיים שלו נמצאים משני עברי הקו המאונך. בדוגמה זו נפסקו הניסיונות שלנו הרבה לפני שהגענו לשורש הריבועי של המספר, ויצא שהגורם האחרון השתווה לגורם הנגדי שלו – אות הוא שגורם זה הוא המספר הראשוני האחרון של המספר, ובזה תמה המלאכה!
דוגמה נוספת: רוצים לדעת מה הם הגורמים הראשוניים של המספר 893. השורש של מספר זה קטן יותר מ-30, לכן עלינו לבדוק את המספרים הראשוניים עד מספר זה. במהלך הניסיונות שלנו הגענו למספר 19 ומצאנו שהגורם הנגדי שלו הוא 47, שהוא מספר ראשוני, שאינו מתחלק אלא לעצמו ול-1, ולכן תמו הניסיונות שלנו וגורמי מספר זה הם 19*47=893 בלבד. משתי הדוגמאות שהבאנו אנו למדים שלעתים קרובות מסתיים החיפוש הרבה לפני שמגיעים לגבול השורש הריבועי של המספר.
כאשר המספר שיש לפרקו לגורמיו הראשוניים קטן יחסית, השיטה שהוצעה מקובלת ונוחה, ואכן היא נלמדת בבתי-הספר. אבל כאשר המספר הוא גדול מאוד הפעלת שיטה זו נמשכת זמן רב, לעתים חודשים, תוך שימוש במאות מחשבים ובסיועם של מאות עובדים ומתנדבים, ולכן ניסו מתמטיקאים שונים להמציא שיטות שונות לפירוק מספרים גדולים מאוד לגורמיהם הראשוניים. קיימות למעלה מתריסר שיטות לפירוק לגורמים. אחדות מתאימות לסוגים מוגדרים של מספרים, ואחדות מתאימות למספרים גדולים ביותר. כמעט כל השיטות דורשות ידע נאות במתמטיקה מתקדמת. בשנים האחרונות הפכה בדיקת הראשוניות לאחד מתחומי המחקר הפעילים ביותר בתורת המספרים. השיפור הדרמטי בעצמה ובתחכום של מחשבים החיה את העניין בגילוי מספרים ראשוניים חדשים או בפירוק מספרים גדולים שידוע שהם פריקים, ועניין מחודש זה עודד פיתוח אלגוריתמים חדשים לזיהוי מהיר יחסית של מספרים כאלה.
משתמע מהנאמר עד כה שעדיין לא נמצאה שיטת פירוק כללית, שתגלה אם מספר מסוים הוא ראשוני או פריק, ואם הוא פריק - שתגלה את כל הגורמים הראשוניים שלו. למספרים גדולים מאוד (למשל, מספר המורכב מכמה מאות ספרות) יש נוסחאות המעריכות את ההסתברות שמספר גדול כזה הוא ראשוני או פריק. מאידך גיסא לא הוכח ששיטה כזו לא תוכל להתקיים. ועוד, אין נוסחה כללית שתוכל להצביע על המספר הראשוני ה-n, או נוסחה שתענה על השאלה: מה מקומו של מספר ראשוני נתון בסדרת המספרים הראשוניים הקיימים? האם הוא המספר הראשוני ה-2579, למשל, או אחר?
ראוי להבחין בין שתי משימות מבחינת הקושי היחסי שלהן. הניסיון מלמד שהמשימה של זיהוי מספרים ראשוניים עצומים בגודלם היא הרבה יותר קלה מהמשימה של פירוק מספר פריק לגורמיו הראשוניים. הקושי של הפירוק נובע לאו דווקא מגודלו של המספר, אלא מטיבם של הגורמים המרכיבים אותו. המספרים הקשים ביותר לפיצוח הם המספרים הפריקים המורכבים דווקא משני מספרים ראשוניים. למספרים אלה קוראים מספרים ראשוניים-למחצה semiprimes. הקושי הולך וגדל ככל ששני מספרים אלה גדולים יותר וככל שהם קרובים זה לזה בגודלם.
כדי לסבר את האוזן נמחיש נקודה זו: נניח שידוע לנו שהמספרים 1679 ו-1517 הם שני מספרים פריקים שכל אחד מהם הוא מכפלה של שני מספרים ראשוניים. ברצוננו לפרק את שני המספרים ולגלות את גורמיהם הראשוניים. והשאלה היא: איזה מספר קשה יותר לפירוק? נתחיל במספר הראשון ונבדוק, כפי שלמדנו, אם הוא מתחלק לסדרה של המספרים הראשוניים לפי הסדר החל במספר 2 – עד שמגיעים למספר 23 שמחלק מספר זה והגורם הנגדי יהיה 73 שהוא המספר הראשוני השני: 23*73=1679. כעת ננהג במספר השני באותה דרך. הגענו למספר 23 והוא לא מתחלק בו. ננסה את הגורמים הראשוניים הבאים לפי הסדר: 29, 31 עד שמגיעים למספר 37 שהוא אחד משני הגורמים הראשוניים, והשני יהיה 41: 37*41=1517. מניסוי פשוט זה למדנו שאף שהמספר השני יותר קטן, היינו צריכים לטרוח יותר כדי לפרקו. כל זה מפני שההפרש בין שני הגורמים הראשוניים שלו קטן יותר מההפרש בין שני גורמיו הראשוניים של המספר הראשון. כעת קל לנו יותר להבין את הקושי כאשר המספרים שנדרשים לפרקם עצומים בממדיהם וגורמיהם הראשוניים קרובים למדיי בגודלם.
אחרי הדיון המתיש בנושא הזיהוי והפירוק של מספרים גדולים, יש לי הרגשה שהקורא מהשורה אינו יכול להתאפק מלשאול: לשם מה כל זה? לאיזה צורך מושקעים מאמצים וכספים כה רבים? ושוב, יש לי הרגשה שהמדען שנתקל בשאלה כזאת יתייחס לשואל בסלחנות המהולה בקורטוב של זלזול. שאלת התכלית של החקירה המדעית הטהורה עולה בהזדמנויות רבות אחרות. אני מוצא שאין תשובה קולעת יותר מאשר תשובתו של מטפס ההרים האנגלי אדמונד הילרי, שכבש את פסגת האוורסט בשנת 1953, כאשר נשאל, למה היה צריך לכבוש את הפסגה. תשובתו המוחצת הייתה: כי היא נמצאת שם! הילרי מדבר על חקירה לשמה ללא תכלית מעשית. הודות לחוקרים מן הסוג הזה המדע מתקדם והאנושות מתפתחת!
לאחר שאמרנו כל זאת, נאמר עוד שלפירוק של מספרים גדולים לגורמיהם הראשוניים יש בכל זאת תכלית מעשית: שיפור טכניקת ההצפנה (קריפטולוגיה) הדרושה לאבטחת מידע בטחוני, תעשייתי או אחר. תיאור, ולו שטחי ביותר, של טכניקה זו חורג מגבולותיו של פרק זה. מי יודע, אולי נזכה בעתיד לכתוב פרק מיוחד שווה לכל נפש בנושא זה!
שאלה: מה עושה אדם רגיל בימינו שמעוניין לדעת אם מספר מסוים בגודל בינוני הוא ראשוני או פריק, אבל אינו שולט בשום שיטה של פירוק? תשובה: לא תהיה לו בעיה כלל. כל מה שעליו לעשות הוא לפנות לאתר מתאים באינטרנט, לרשום את המספר שאותו הוא מעוניין לבדוק את ראשוניותו, ותוך שנייה או שתיים הוא יקבל את התשובה.
אבל - מה עשה אותו אדם רגיל לפני עידן המחשבים? האם יכול היה לקבל תשובה מן המוכן, כפי שיכול הוא לקבלה בימינו באמצעות המחשב? התשובה היא: כן ולא. אם המספר גדול מאוד, נאמר עולה על עשרה מיליון, הוא לא יכול היה לקבל תשובה. אבל אם המספרים קטנים יותר, הוא יכול היה להיעזר בטבלאות מוכנות של מספרים ראשוניים עד גודל מסוים, ובטבלאות נוספות שהכילו מספרים פריקים שפורקו לגורמיהם הראשוניים. טבלאות אלה לא היו כל כך נפוצות, כמו, למשל, הטבלאות של מספרים שיש להעלותם בחזקות שונות או למצוא את שורשיהם הריבועיים או המעוקבים, או טבלאות הלוגריתמים והאנטילוגריתמים, שעומדות לרשותם של תלמידי תיכון ואוניברסיטה בימינו. הן לא היו נפוצות כי השימוש בהן היה מצומצם והן לא השתלבו בנושאים החשובים והבסיסיים של תוכניות הלימודים שהסטודנט היה חייב לשלוט בהם. ואף על פי כן מעניין לסקור תולדותיהן של טבלאות אלה.
טבלאות פירוק
אם נתעלם מכמה טבלאות קטנות שפורסמו עוד בראשית המאה ה-13, הראשון שפרסם טבלה המכילה את הגורמים של כל המספרים עד 800 היה המתמטיקאי האיטלקי פייטרו קַטַלְדִי. טבלה זו פורסמה בשנת 1603 ובאותה שנה הוא פרסם טבלה אחרת שהכילה את כל המספרים הראשוניים עד 750. טבלת פירוק המכילה 24,000 מספרים פורסמה בגרמניה בשנת 1659 ושוכללה לאחר מכן עד 100,000 מספרים על-ידי מתמטיקאי אנגלי, שהוציא אותה לאור שנים ספורות לאחר מכן. במשך זמן ממושך למדיי זו הייתה הטבלה הזמינה היחידה, והיא זכתה להדפסות רבות. במאה ה-18 גברה ההתעניינות בתורת המספרים והייתה דרישה לטבלאות גדולות יותר. טבלה כזו חוברה בידי מנהל בית-ספר בווינה בשם אנטוניו פֶלְקֶל, שחישב את הגורמים הראשוניים של כל המספרים עד שני מיליון. הכרך הראשון יצא לאור בשנת 1776 והוא הכיל את 408,000 המספרים הראשונים על גורמיהם הראשוניים. כרך זה היה אמור להיות חלק מתכנית שאפתנית שהתכוונה לפרק לגורמים כמה מיליונים של מספרים. ההדפסה מומנה על-ידי האוצר המלכותי האוסטרי, אבל כיוון שלא היו לטבלאות אלה מספיק קונים, החליט האוצר לאסוף את כל העותקים מהחנויות והנייר נתרם למאמץ המלחמתי נגד הטורקים!
במאה ה-19 חוברו כמה טבלאות שהמפורסמת והנפוצה שבהן הייתה זו שחוברה בידי פרופסור למתמטיקה באוניברסיטת פראג בשם יאקוב קוּלִיק. טבלה זו, שהייתה פרי עבודה מאומצת של אדם אחד במשך עשרים שנה, הכילה 100 מיליון מספרים. כתב היד, שהושלם בשנת 1863 והשתרע על פני 8 כרכים עבי-כרס, הופקד בספריית האקדמיה המלכותית למדעים של וינה ומעולם לא פורסם.
כיום, הטבלה החשובה ביותר מכילה עשרה מיליון מספרים על גורמיהם הראשוניים והיא חוברה בידי המתמטיקאי האמריקאי דֶריק לֶהמר ופורסמה בשנת 1909. חמש שנים לאחר מכן הוא פרסם טבלה שהכילה רק את המספרים הראשוניים המצויים בעשרה מיליון המספרים הראשונים.
ושוב נזכור שאנשים אלה הקדישו חלק נכבד משנות חייהם ללא ציפייה לתמורה או לטובת הנאה כלשהי. זוהי עשייה לשמה במלוא טהרתה, והתמורה היחידה היא, כנראה, הסיפוק הפנימי האדיר שהם חוו!  
התפלגותם של מספרים ראשוניים
כמה מספרים ראשוניים יש בתחומים מוגדרים של מספרים? האם צפיפותם נעשית גדולה יותר, קטנה יותר או שמא נשארת בעינה ככל שנתקדם בציר המספרים? על שאלות אלה ננסה לענות תוך התבוננות בטבלה הבאה, שמכילה את המספרים הראשוניים בתחום המספרים 1‏-1500. המספרים הראשוניים מופיעים מלמעלה למטה בקבוצות של 25:
2     101    233    383    547    701    877    1049    1229    1429
3    103    239    389    557    709    881    1051    1231    1433
5    107    241    397    563    719    883    1061    1237    1439
7    109    251    401    569    727    887    1063    1249    1447
11    113    257    409    571    733    907    1069    1259    1451
13    127    263    419    577    739    911    1087    1277    1453
17    131    269    421    587    743    919    1091    1279    1459
19    137    271    431    593    751    929    1093    1283    1471
23    139    277    433    599    757    937    1097    1289    1481
29    149    281    439    601    761    941    1103    1291    1483
31    151    283    443    607    769    947    1109    1297    1487
37    157    293    449    613    773    953    1117    1301    1489
41    163    307    457    617    787    967    1123    1303    1493
43    167    311    461    619    797    971    1129    1307    1499
47    173    313    463    631    809    977    1151    1319    
53    179    317    467    641    811    983    1153    1321
59    181    331    479    643    821    991    1163    1327
61    191    337    487    647    823    997    1171    1361
67    193    347    491    653    827    1009    1181    1367
71    197    349    499    659    829    1013    1187    1373
73    199    353    503    661    839    1019    1193    1381
79    211    359    509    673    853    1021    1201    1399
83    223    367    521    677    857    1031    1213    1409
89    227    373    523    683    859    1033    1217    1423
97    229    379    541    691    863    1039    1223    1427
אם נבדוק את התפלגותם של המספרים הראשוניים בתחום העשרות נראה שבעשרת הראשונה יש 4 מספרים ראשוניים, בשנייה – שוב 4, בשלישית – 2, ברביעית – שוב 2, בחמישית – 3, בשישית – 2, בשביעית – שוב 2, בשמינית – 3, בתשיעית – 2 ובעשירית – 1. אין מגמה קבועה.
מה אם התחום הוא מאות שלמות? הטבלה הבאה תראה את התפלגות המספרים הראשוניים במאות שונות:
טבלת המאות
מאה מס`    מס` המס` הרא`        מאה מס`     מס` המס` הרא`
1        25            296        10
2        21            297        8
3        16            298        7
4        16            299        10    
5        17            300        7
6        14            *        *
7        16            *        *
8        14            *        *
*        *            *        *
*        *            *        *
*        *            *        *
26        11            1000        6
27        15            1001        9
28        14            1002        8
29        12            1003        9
30        11            1004        8
אפשר לומר שיש מגמה של ירידה אטית במספר המספרים הראשוניים ככל שמתקדמים בציר המספרים, אבל מגמה זו לא יציבה: תוך כדי ירידה אטית יש עליות פה ושם.
מהו המצב אם התחום הנבדק הוא מאות אלפים או מיליונים? הטבלה הבאה מציינת את מספר המספרים הראשוניים עד המאת-אלפים. היא גם מציינת את האחוז שלהם מכלל המספרים עד הגבול המצוין:
טבלת המאות אלפים
המאת-אלפים מס`    מס` המס` הרא`        אחוז המס` הרא`
1            9592            9.59
2            17984            8.99
3            25997            8.66
4            33860            7.46
*
*
8            63951            7.99
9            71274            7.91
המגמה ברורה: אחוז המספרים הראשוניים בתחום מאות-האלפים הולך ויורד עם ההתקדמות בציר המספרים.
טבלת המיליונים
עד סוף המיליון מס`    מס` המס` הרא`        אחוז המס` הרא`
1            78498            7.85
2            148933            7.44
3            216816            7.22
4            283146            7.07    
*
*
8            539777            6.74
9            602489            6.69    
10            664578            6.64
גם כאן קיימת מגמה ברורה וסדירה להצטמצמות מספר המספרים הראשוניים.
זוהי המגמה, אבל בכל זאת: כמה מספרים ראשוניים יש עד מספר מסוים שנקבע, למשל עד מספר n? מהטבלה הקודמת אנו רואים שאם n הוא בתחום מיליונים ספורים ניתן לחשב במדויק את מספר המספרים הראשוניים הקיימים עד הגבול שנקבע. אבל אם n הוא מספר גדול מאוד, נאמר מספר שיש לו 120 ספרות, אין שום אפשרות בדרך של ספירה רגילה לגלות את מספר המספרים הראשוניים עד n. כל מה שנוכל לעשות הוא לאמוד את מספרם. ואכן עוד מראשית המאה ה-19 הומצאו נוסחאות לאומדן. נוסחאות אלה שוכללו במשך הזמן כדי שהאומדן יתקרב כמה שאפשר למספר האמיתי.
בטבלה הבאה נוכל להשוות את המספר האמיתי עד n מסוים לעומת האומדן לפי שתי נוסחאות: האחת היא הנוסחה הבסיסית והשנייה היא הנוסחה המשופרת:
עד n    יש בפועל    לפי נוסחה בסיסית    לפי נוסחה משופרת
103    168        145            169
104    1,229        1,086            1,218
105    9,592        8,686            9,512
106    78,498        72,382               78,030
107    664,578        620,420            661,459
108    5,761,455    5,428,681        5,740,304
גם טבלה זו מראה שבאחוזים המספר הולך ומצטמצם ככל ש-n נעשה גדול יותר. בסוגריים נאמר שישנן גם נוסחאות האומדות את גודלו של המספר הראשוני ה-n.
עובדות אלה הביאו מתמטיקאים קדומים לשאול: האם ייתכן מצב שבו המספרים הראשוניים ילכו וייעלמו כאשר נגיע למספרים גדולים מאוד? האם ייתכן מצב שבו נגיע למספר ראשוני שיהיה הגדול ביותר מבין המספרים הראשוניים, שאחריו כל המספרים יהיו מספרים פריקים? בניסוח אחר – האם מספרם של המספרים הראשוניים הוא מספר סופי או אין סופי?
כדי לענות על שאלה זו צריך שיהיה ברור שרשימות של מספרים ראשוניים, גדולות ומקיפות ככל שיהיו, לא יועילו כאן. נניח שיש ברשותנו מחשב שמגלה מספר ראשוני שהוא גדול מאוד, נאמר מספר המורכב מאלף ספרות; עדיין זו לא הוכחה שלא יוכל להתגלות בעתיד מספר יותר גדול ממנו – הכול יהיה תלוי במידת השכלול של המחשבים או בנוסחאות השונות שעשויות להתגלות בעתיד.
נסבר את האוזן: קיים אתר באינטרנט המדווח באופן שוטף כבר שש עשרה שנים על המספר הראשוני הגדול ביותר שנתגלה עד כה. הוא מדווח שהמספר הראשוני הגדול ביותר נתגלה באוגוסט 2008. מספר הספרות שלו מתקרב לשלושה עשר מיליון! מדוּוח שם גם שהמספר הבא אחריו נתגלה דווקא באפריל 2009, והמספר הרביעי בגודלו נתגלה בשנת 2006. מכאן אנו למדים שתמיד יש סיכוי שיתגלה מספר ראשוני גדול יותר מזה הידוע לנו כיום.
נשוב לענייננו ונציין ש"תגליות" מעשיות כאלה אינן מתאימות לפסוק אם מספר ראשוני מסוים הוא הגדול ביותר, כיוון שהן תמיד נעשות בתחום מוגבל של מספרים, ואינן יכולות להקיף בשום אופן את כל המספרים כולם, שמספרם כידוע הוא אין סופי. יש אפוא לחפש את התשובה בתחום ההיגיון ולא בתחום הניסיון, בדרך דדוקטיבית ולא בדרך אינדוקטיבית. ואכן תשובה משכנעת כזו ניתנה כבר במאה השלישית לפני הספירה על-ידי מיודענו המתמטיקאי היווני המפורסם אאוקלידס. הוא הוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים.
המספר האינסופי של מספרים ראשוניים
לפני שנדון בהוכחתו של אאוקלידס, ראוי לעיין בדוגמה אחת או שתיים שתסייענה לנו להבנת ההוכחה. הבה ניקח מספר פריק כלשהו, נאמר 33. מספר זה הוא מכפלה של 11*3, שהם שניהם מספרים ראשוניים. אם נוסיף למספר זה 1, נקבל את המספר 34, שאינו מתחלק לא ב-11 ולא ב-3, אלא דווקא ב-2 וב-17. ניקח מספר אחר, נאמר 42, שהוא מכפלה של 7*3*2, שכולם מספרים ראשוניים. אם נוסיף למספר זה 1, נקבל את המספר 43, שגם הוא אינו מתחלק לא ב-2, לא ב-3 ולא ב-7. מסקנתנו הכללית תהיה, על-סמך שתי הדוגמאות האלה ועוד דוגמאות רבות אחרות: אם מוסיפים 1 למספר שהוא מכפלה של כמה מספרים ראשוניים, המספר שנוצר אינו יכול להתחלק באותם מספרים ראשוניים ללא שארית. ואז או שהמספר החדש שנוצר יהיה בעצמו מספר ראשוני, כמו בדוגמה השנייה, או שהוא מספר פריק המתפרק למספרים ראשוניים השונים מהמספרים הראשוניים המקוריים - כמו שהראינו בדוגמה הראשונה.
כעת אנו בשלים להבין את הוכחתו של אאוקלידס. אאוקלידס טען: נניח שמספר המספרים הראשוניים הוא סופי. פירושו של דבר שקיים מספר ראשוני שהוא הגדול ביותר מבין המספרים הראשונים הקיימים בכלל (גודלו של מספר ראשוני זה אינו מעניין אותנו כלל). נסמן מספר זה באות P. ועתה נכפיל מספר זה בכל המספרים הראשוניים הקטנים ממנו לפי הסדר. התוצאה תהיה מספר פריק שמתחלק בכל אחד מהמספרים הראשוניים האלה, או במכפלות שונות שלהם. אם נוסיף למכפלה הגדולה הזו את המספר 1, נקבל את המספר החדש N, שגודלו יהיה:
1+ (P....*13*11*7*5*3*2) = N
ברור שמספר זה אינו יכול להתחלק בדיוק לאף אחד מהמספרים הראשוניים שהשתמשנו בהם לקבלתו. השארית תהיה תמיד 1. וכאן קיימות שתי אפשרויות לגבי המספר N:
א.    N הוא מספר ראשוני חדש הגדול מכל המספרים הראשוניים שהכרנו.
ב.    N הוא מספר פריק שכל הגורמים שלו חייבים להיות יותר גדולים מ-P (כיוון שכבר נוכחנו שאף אחד מהגורמים הראשוניים הקטנים מ-P אינו יכול להיות המחלק שלו).
בשני המקרים נסתרת ההנחה שהנחנו, שקיים מספר סופי של מספרים ראשוניים ש-P הוא הגדול שבהם. המסקנה, אם כן: אין מספר ראשוני שיכול להיחשב כמספר הראשוני הגדול ביותר, שאחריו יש רק מספרים פריקים. במילים אחרות: יש אינסוף מספרים ראשוניים.
הדוגמה הבאה תלך בעקבות הוכחתו של אאוקלידס ותמחיש אותה:
7 =1+ 3*2                               - 7 הוא מספר ראשוני הגדול מ-3.
31 = 1+ 5*3*2                      - 31 הוא מספר ראשוני הגדול מ-5.
211 = 1+ 7*5*3*2        - 211 הוא מספר ראשוני הגדול מ-7.
2311 =1+ 11*7*5*3*2        - 2311 הוא מספר ראשוני הגדול מ-11.
30031 =1+ 13*11*7*5*3*2    -30031 הוא מספר פריק, שהגורמים                                                                       שלו  הם  509*59, ושניהם גדולים  יותר מ-13.
510511 = 1+ 17*13*11*7*5*3*2 - 510511 הוא מספר פריק, שהגורמים שלו הם:                                                      277*97*19, וכולם גדולים מ-17.                       
זוהי הוכחתו של אאוקלידס כפי שהיא מנוסחת במונחים של ימינו. נוכל למצוא אותה בכל ספר לימוד במתמטיקה. אולם מעניין לדעת שאאוקלידס לא ניסח את הוכחתו בלשון זו, וההוכחה שלו שונה במקצת מההוכחה שהבאנו. היא לא תימצא ברוב המכריע של ספרי המתמטיקה, ולכן לנו יש עניין להציגה כדי שהקורא יוכל לטעום ולו במעט מלשון המתמטיקה העתיקה. אבל לפני שנביא את הוכחתו כלשונה ראוי לזכור דברים אחדים בקשר לתפיסתם של המתמטיקאים היוונים הקדמונים של כמה מונחים מתמטיים. בהבדל מהתפיסה המופשטת שלנו את המספרים, התייחסו היוונים הקדמונים אליהם כקטעים מוגדרים, או כמכפלה של יחידות אורך. בעוד אנו מדברים בימינו על אפשרות התחלקות מספר מסוים במספר אחר, דיברו היוונים על "מדידת" קטעים: כאשר אומרים שקטע א "מודד" את קטע ב, הם מתכוונים למספר הפעמים שבו קטע א "נכנס" בתוך קטע ב. ועוד, מושג האין סוף לא היה מוכר להם. הם התייחסו לישרים כאל משהו שיכול להימתח במידה בלתי מוגדרת (ולא משהו שנמשך עד אינסוף, ואנו למעשה רואים רק חלק ממנו). מסיבה זו לא יכול היה אאוקלידס לנסח את המשפט שעליו להוכיחו במילים: "קיים אינסוף של מספרים ראשוניים". טענה מספר 20 המובאת בחלק IX של ספרו יסודות נוסחה כך [המילים בתוך הסוגריים המרובעים הן שלנו, והן הובאו להבהרה]: "מספרם של המספרים הראשוניים [הקיימים בכלל] הוא יותר גדול מקבוצה מוגדרת כלשהי של מספרים ראשוניים". והנה ההוכחה של המשפט, כפי שהיא מתורגמת כלשונה:
"נניח שהמספרים a, b ו-c הם [קבוצה מוגדרת של] מספרים ראשוניים:
     a                      b                          c  
אני טוען שיש יותר מספרים ראשוניים מ-a , b ו- c.
ניקח את המספר הקטן ביותר DE שנמדד על-ידי a, b ו-c [בלשון ימינו, הוא המכפלה המשותפת הקטנה ביותר שלהם], ונוסיף לו את היחידה unit [דהיינו המספר 1]EF :
     x          x                                            x
         F      E                                           D
כעת, המספר DF - או שהוא מספר ראשוני או שלא. נניח שהוא מספר ראשוני, יוצא שיש לנו עכשיו a, b, c, וגם DF כמספרים ראשוניים, שהם יותר מהקבוצה שהגדרנו. אבל אם הוא לא מספר ראשוני, הרי הוא יימדד  על-ידי מספר ראשוני כלשהו [ראה טענה ג` בראש הפרק שלנו]. נניח שזהו המספר הראשוני g. אני טוען שמספר זה לא יכול להיות זהה עם אחד מהמספרים a, b ו-c, שאם הוא יהיה זהה לאחד מהם אזי גם הוא ימדוד את DE [ראה טענה ב` שם]. אבל g מודד גם את DF, לכן המספר g צריך למדוד גם את התוספת, דהיינו את היחידה [המספר 1] EF – דבר שהוא אבסורד. לכן g שונה מכל אחד מהמספרים a, b ו-c. וכיוון שהנחנו שהוא ראשוני יוצא שהמספרים a, b, c  ו-g הם כולם מספרים ראשוניים, והם יותר מקבוצת המספרים הראשוניים שהוגדרה מלכתחילה. המסקנה: מספרם של המספרים הראשוניים [הקיימים בכלל] הוא יותר גדול מקבוצה מוגדרת כלשהי של מספרים ראשוניים".
הוכחה זו של אאוקלידס היא מהראשונות הידועות שמשתמשת בשיטת ההוכחה בדרך השלילה כדי להוכיח טענה כלשהי. היא, כפי שרואים, מצטיינת ביופיה, בחסכנותה ובאלגנטיות שלה.
כאן ראוי לציין שאם "הקבוצה המוגדרת" כוללת מספרים ראשוניים אקראיים (ולאו דווקא מספרים ראשוניים עוקבים החל במספר 2, כפי שמצוין בדוגמה לעיל), הרי אם מכפילים אותם ומוסיפים 1 למכפלה והתוצאה תהיה מספר פריק, שאחד או יותר מהמספרים הראשוניים המרכיבים אותו יכולים להיות קטנים מאחד מאברי "הקבוצה המוגדרת": נניח שבחרנו באופן שרירותי את המספרים הראשוניים 2, 5 ו-11 כ"קבוצה מוגדרת". אם נוסיף 1 למכפלתם נקבל את המספר 111 שהוא מספר פריק שגורמיו הם 3 ו-37. המספר 3 איננו המספר הראשוני הגדול ביותר בקרב "הקבוצה המוגדרת".
המרווחים בין המספרים הראשוניים
היבט אחר לבדיקת "צפיפותם" של מספרים ראשוניים הוא בדיקת אופן הפיזור שלהם בין המספרים הטבעיים. היבט זה נשאר בגדר תעלומה מאז ומתמיד. פירושו של דבר שאי אפשר לצפות מראש אחרי כמה מספרים יופיע המספר הראשוני שבא אחרי המספר הראשוני שבידינו. לו שאלנו מישהו: מהו המספר הבא בסדרה הבאה: 403, 413, 427, 433, 439,... קרוב לוודאי שהיה מתקשה לפענח את הקושיה, אלא אם כן היה מזהה שהמספרים הללו הם מספרים ראשוניים, והיה מצהיר שהמספר הבא הוא 481 – קפיצה בלתי צפויה של 42 מספרים. כבר בזמנו כתב אוילר על התופעה: "מתמטיקאים ניסו לגלות סדר כלשהו בסדרה של מספרים ראשוניים. לנו יש יסוד לחשוב שזוהי תעלומה שהמוח האנושי אינו מסוגל לפענח". מתמטיקאי אחר כתב בשנת 1987: "יעברו עוד מיליוני שנים עד שנפענח את חידתם של המספרים הראשוניים, וגם אז לא יהיה הפענוח שלם, כיוון שאנו מתמודדים עם האינסוף". כל זה מצביע על האופי הכאוטי של מספרים אלה.
ההפרש הקטן ביותר בין שני מספרים ראשוניים הוא 1, שהוא ההפרש בין שני המספרים הראשוניים 2 ו-3, וזה מכיוון שהמספר 2 הוא המספר הראשוני היחיד שהוא זוגי. מלבד המקרה היחיד והמיוחד הזה, ההפרש הקטן ביותר בין שני מספרים ראשוניים הוא 2. לשני מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2 קוראים מספרים ראשוניים תאומים twin primes. עיון שטחי בטבלת המספרים הראשוניים שבעמ` 7 מראה לנו שהמרווחים בין המספרים הראשוניים הם לא סדירים. נכון שהמרווחים הולכים וגדלים עם ההתקדמות בציר המספרים, אבל אין לומר בשום אופן שמגמה זו עקיבה ואין בה נסיגות פה ושם.
הטבלה הבאה תבהיר עוד יותר את העניין:
המאה ה-    ההפרש הגדול ביותר בין שני        מס` המספרים
                           מספרים ראשוניים עוקבים        הראשוניים התאומים
1    8 (89-97)                8
2    14 (113-127)            7
3    12 (211-223)            4
4    14 (317-331)            2
5    10 (409-419)            3
6    12 (509-521)            2
7    12 (661-673)            4
8    14 (773-787)            0
9    14 (863-877)*            5
10    14 (953-967)            0
*
*
*
101    26 (10009-10037)            4
102    22 (10111-10133)            1
103    20 (10223-10243)            1
104    22 (10369-10391)            2
105    20 (10433-10453)            2
*
*
*
500    34 (49957-49991)            3
501    16 (50053-50069)            2        
502    30 (50177-50207)            1
503    30 (50231-50261)            1
504    18 (50341-50359)            0
* ההפרש הגדול ביותר באלף הראשון נמצא בין המאה התשיעית והעשירית, והוא בין 887 ל-907 – הפרש של 20.
הטבלה מראה:
א.    כל המרווחים בין המספרים הראשוניים הם מספרים זוגיים (חוץ מהמקרה המיוחד שבין 2 ו-3, כפי שצוין לעיל). זה מובן, מכיוון שכל המספרים הראשוניים (חוץ מ-2) הם מספרים אי-זוגיים.
ב.    ככל שמתקדמים בציר המספרים יש מגמה שההפרשים בין שני מספרים ראשוניים עוקבים הולכים וגדלים, אבל זו רק מגמה והגידול אינו עקיב. יש עליות וירידות. העובדה שקיימת אפשרות שבמספרים גדולים מאוד (שבהם המרווחים בין המספרים הראשוניים העוקבים גדולים) יופיעו פתאום מספרים ראשוניים תאומים, שמצמצמים את המרווח לשתיים, מעידה על אי הסדירות שציינו אותה.
ג.    ככל שמתקדמים בציר המספרים יש מגמה שמספר המספרים הראשוניים התאומים הולך וקטן. אבל, שוב, מגמה זו אינה עקיבה. אם זוהי המגמה, שמא קיימת האפשרות שמספרים אלה ייעלמו כליל, כאשר נתקדם בציר המספרים לעבר מספרים אסטרונומיים. בשאלה זו נדון בהמשך.
ד.    אבל אם נתבונן היטב בטבלה שבעמ` 15-14 ונחפש לפיה את זוגות המספרים התאומים, נראה שצורתו הכללית של המספר הקטן מבני הזוג היא 1-n6, ואילו הצורה הכללית של המספר הגדול שביניהם היא 1+n6. נקח לדוגמה את המאה ה-9 שיש בה, לפי הטבלה 5 זוגות של מספרים תאומים: 811-809, 823-821, 829-827, 859-857 ו-881-‏883. המספר הקטן מבין כל זוג משאיר שארית של 5 בהתחלקו ב-6, ואילו המספר הגדול מביניהם משאיר 1 בהתחלקו ב-6. במילים אחרות הצורה הכללית של המספרים התאומים (חוץ מהזוג הראשון: 3‏-5) היא 1±  n6.
לעומת ההפרש הקטן ביותר בין שני מספרים ראשוניים, יש בידינו זוג מספרים ראשוניים עוקבים ששהפרש ביניהם הוא 100, שזהו רווח גדול ונדיר למדיי (אבל אי אפשר לומר שהוא ההפרש האפשרי הגדול ביותר). זוג המספרים הוא: 396733 ואחריו המספר 396833. זהו הזוג הראשון מסוגו מבין המספרים הראשוניים.
לצד המספרים התאומים קיימים זוגות מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 4. למשל,  7-3, 11-7, 17-13, 23-19 ועוד. אלה מכונים בשם המאולץ מספרים דודנים cousin primes .
לצד אלה ישנם זוגות מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 6. כגון, 11-5, 13-7, 19-13, 23-17, ועוד – להם ניתָן השם המבודח מספרים סקסיים sexy primes. מי שמחפש סיפור מפולפל מאחורי המספרים האלה יתבדה. הם נקראים כך פשוט מפני שהמילהsex  בלטינית מקבילה למילה six באנגלית!
קיימות גם שלשות סקסיות sexy triplets, כגון: 7, 13, 19 ; 17, 23, 29 ; 31, 37, 43 ; 47, 53, 59 ועוד.
וגם רביעיות סקסיות sexy quadruplets לא חסרות: 11, 17, 23, 29 ; 41, 47, 53, 59 ; 61, 67, 73, 79 ; 251, 257, 263, 269 ועוד.
לעומת הנ"ל קיימת אך ורק חמישייה סקסית sexy quintuplet אחת והיא: 5, 11, 17, 23, 29. רק אחת – כיוון שאיבר אחד מתוך חמישיית מספרים שצורתם 6n±1 חייב להתחלק ב-5, ולכן הוא לא יכול להיות ראשוני אלא אם כן הוא המספר 5 בעצמו.
סדרות של מספרים ראשוניים
אף כי לא נמצאה עד כה הוכחה מתמטית חותכת לאינסופיותם של מספרים ראשוניים תאומים, כמעט כל המתמטיקאים העוסקים בתחום משוכנעים שמספרם אכן אינסופי. באין הוכחה, מה שנותר לעשות בנידון הוא לחפש את המספרים הראשוניים התאומים הגדולים ביותר. בשנת 2009 נתגלה זוג המספרים התאומים הגדול ביותר, וכל אחד מהם מכיל 100355 ספרות. בהשוואה למספר הספרות שמכילים מספרים ראשוניים רגילים, מספר זה לא נחשב לגדול במיוחד. כולם מבינים שזה שיא על תנאי, ולא יחלוף זמן רב עד שיתגלו מספרים יותר גדולים מהם.
ואם כבר נחקרים במשך דורות המספרים התאומים, אין סיבה שלא ייחקרו שלשות triplets או רביעיות quadruplets של מספרים ראשוניים. שלשה היא סדרה של שלושה מספרים ראשוניים שההפרש בין כל שניים מהם הוא 2 או 4. במונחים כלליים הסדרה תיראה כך: 6+p, 2+p, p או 6+p, 4+p, p: (11, 7, 5),       (13 ,11, 7), (17, 13, 11), (19, 17, 13), (43, 41, 37) וכן הלאה. ברור מאליו שכל שלשה כזאת תכיל זוג מספרים תאומים, זוג של מספרים דודנים וזוג של מספרים סקסיים. כמו כן, מספר ראשוני מסוים יכול להיות "חבר" בכמה שלשות, אבל לא יותר משלוש. למשל, המספר 103 יכול להיות חבר בשלוש השלשות הבאות: 97, 101, 103; 101, 103, 107; 103, 107, 109. כאשר זה קורה, אפשר יהיה להרכיב מהאברים השונים של שלוש השלשות חמישייה אחת. בדוגמה שלנו: 97, 101, 103, 107, 109.
קיימת שלשה אחת ויחידה שההפרש בין המספרים הראשוניים שלה הוא 2 והיא: 3, 5, 7. לא יכולה להיות שום שלשה נוספת כזאת, כיוון שאחד מהמספרים: 4+p, 2+p, p חייב להתחלק בשלוש, ולכן הוא לא יכול להיות מספר ראשוני אלא אם כן 3=p.
נכון לשנת 2010 השלשה הגדולה ביותר מכילה מספרים ראשוניים בני 10047 ספרות. שלשה זו נתגלתה בשנת 2008 ומאז לא נתגלתה שלשה גדולנ ממנה. כמו במקרה של מספרים תאומים, יש המשערים שקיים מספר אינסופי של שלשות כאלה, אבל אין הוכחה לכך.
רביעייה היא סדרה של ארבעה מספרים ראשוניים שצורתה: 8+p, 6+p, 2+p, p. נוכל לגלות רביעיות כאלה בלוח המספרים הראשוניים שבעמ` 7 : (11, 13, 17, 19),
(101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (821, 823, 827, 829) ועוד – שני זוגות עוקבים של מספרים תאומים שההפרש בין זוג אחד למשנהו הוא 4. יתרה מזאת כל רביעייה מכילה שתי שלשות חופפות. הרביעייה הראשונה לעיל, למשל,  מורכבת מהשלשות: 11, 13, 17 ו- 13, 17, 19. כפי שרואים כל הרביעיות נופלות באותה עשרת, ולכן מסתיימים אבריהם בספרות 1, 3, 7, 9. הרביעייה הגדולה ביותר נתגלתה באפריל שנת 2005, וכל מספר ראשוני בתוכה מכיל 2058 ספרות.
קיימות שתי צורות כלליות של חמישיות. הראשונה היא בעלת הצורה של p, p+4, p+6, p+10, p+12 והשנייה בעלת הצורה של p, p+2, p+6, p+8, p+12 . נביא שתי דוגמאות מכל צורה. לצורה הראשונה שייכת הדוגמה שהבאנו לעיל, ועוד: 7, 11, 13, 17, 19.  לצורה השנייה: 5, 7, 11, 13, 17 ו- 11, 13, 17, 19, 23.
היה אפשר כמובן להמשיך ולהציג שישיות, שביעיות וכו` עד k-יות. ההגדרה של  k-tuplet תהיה: סדרה של מספרים ראשוניים עוקבים שהמרחק בין האיבר הראשון לאחרון שלה הוא המרחק הקטן ביותר האפשרי. ראינו שבשלשות מרחק זה הוא 6, ברביעיות - 8 ובחמישייה - 12.                        
הסדרה הגדולה ביותר שנחקרה עד כה היא סדרה בת 18 איברים.
מספרים ראשוניים בסדרות חשבוניות
סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים (לפחות 3) שההפרש בין איבריה הוא מספר קבוע. סדרה מוכרת של מספרים ראשוניים היא השלישייה: 3, 5, ו-7. זוהי, כזכור, הסדרה היחידה שההפרש בין איבריה הוא 2. זוהי גם הסדרה החשבונית הקטנה ביותר המכילה 3 מספרים ראשוניים עוקבים. סדרה נוספת בעלת 3 מספרים ראשוניים עוקבים היא הסדרה: 47, 53, 59.
השאלה הראשונה שנשאל היא: האם סדרות חשבוניות רגילות כלשהן מכילות בהכרח מספרים ראשוניים, ואם כן – כמה? המתמטיקאי הגרמני פטר דיריכּלֶה Dirichlet (1859-1805) עונה בחיוב על השאלה הראשונה, ועל השאלה השנייה הוא מנסח בשנת 1837 את מה שמכונה בשפת המתמטיקה כמשפט דיריכּלה      D. theorem.  משפט זה מנוסח כך: "אם a (האיבר הראשון בסדרה) ו-b (ההפרש בין האיברים) הם מספרים חיוביים זרים זה לזה (אין להם גורם משותף חוץ מ-1), אזי הסדרה החשבונית: a, a+b, a+2b, a+3b, a+4b…. תכיל אינסוף של מספרים ראשוניים. משפט זה אינו מתייחס, כפי שרואים, למספרים ראשוניים המסודרים בעצמם בסדרה חשבונית.
סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים
קיימות סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים בעלות איברים שונים והפרשים שונים בין האיברים. אנו מגדירים כסדרה חשבונית כזו שמכילה יותר משני איברים. להלן מבחר של סדרות כאלה:
    3, 7, 11 היא, כאמור, הסדרה הקטנה ביותר בעלת 3 איברים וההפרש בין איבריה הוא 4 (הסדרה 3, 5, 7 היא, כאמור, יוצאת דופן והיא יחידה במינה). בביטוי "הקטנה ביותר" אנו מתכוונים שהאיבר הגדול ביותר בדוגמה הוא המספר האפשרי הקטן ביותר. בשנת 1944 הוכח שיש אינסוף של שלשות של מספרים ראשוניים המסודרים בסדרה חשבונית.
    5, 11, 17, 23 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 4 איברים (הפרש – 6)
    נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 29 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 5 איברים.
    7, 37, 67, 97, 127, 157 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 6 איברים (הפרש – 30).
    7, 157, 307, 457, 607, 757, 907 היא הסדרה הקטנה ביותר בעלת 7 איברים (הפרש 150)
    199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, היא הסדרה הקטנה ביותר שיש בה 8 איברים (הפרש – 210).
    נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 1879 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 9 איברים.
    נוסיף לסדרה הקודמת את המספר 2089 ונקבל את הסדרה הקטנה ביותר בעלת 10 איברים.
אנו רואים שככל שאיברי הסדרה רבים יותר כן נעשים האיברים בתוכה גדולים וכן גם ההפרשים בין האיברים.
נכון לאפריל 2010 הסדרה החשבונית הארוכה ביותר של מספרים ראשוניים שנתגלתה היא בעלת 26 מספרים ראשוניים. מעניין לציין שהסדרה הראשונה בעלת 25 איברים נתגלתה בשנת 2008 על ידי זוג מתמטיקאים שאחד מהם הוא הישראלי רענן חרמוני.
סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים עוקבים
הסדרה החשבונית הקטנה ביותר של מספרים ראשוניים עוקבים היא הסדרה: 3, 5, 7. סדרה נוספת כזו היא: 47, 53, 59. סדרה כזו בעלת ארבעה איברים היא: 251, 257, 263, 269; אחריה מופיעה הסדרה 1741, 1747, 1753, 1759. סדרות ארוכות יותר לא מצאתי במקורות. המקורות מציינים רק שנמצאו סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים עוקבים עד 10 איברים. כנראה שהסדרות שלא צוינו כאן מכילים מספרים עצומים בגודלם.
ישנן גם סדרות חשבוניות של מספרים ראשוניים שאיבריהם הם מספרים פאלינדרומיים (מספר פאלינדרומי palindromic הוא מספר שסדר ספרותיו זהה אם קוראים אותן משמאל לימין או מימין לשמאל: 101, 787 ועוד). לא ברור אם יש מספר אינסופי של מספרים ראשוניים פאלינדרומיים):
    13931, 14741, 15551, 16361 (4 איברים; הפרש 810)
    10301, 13331, 16361, 19391 (כנ"ל; הפרש 3030)
    70607, 73637, 76667, 79697 (כנ"ל)
    94049, 94349, 94649, 94949 (כנ"ל; הפרש 300)
ועתה נשוב לעניין המרווחים בין המספרים הראשוניים. למעשה, אנו בעצמנו נוכל לקבוע את גודל המרווח בין שני מספרים ראשוניים ככל שנחפוץ.
נתבונן בסדרת המספרים הבאה:
                   (1+n)+!(1+n) ,...., 4+!(1+n), 3+!(1+n), 2+!(1+n)             (1> n)
(הסימן (!) נקרא עַצֶרֶת. n! פירושו מכפלה של כל המספרים הטבעיים מהמספר 1  ועד n. כך, !4=4*3*2*1=24.
אם נציב 4 במקום n, למשל, נראה שהמספר הראשון בסדרה זו הוא מספר המתחלק בשתיים, השני מתחלק ב-3, השלישי ב-4 והרביעי ב-5. פירושו של דבר שיש לנו חמישה מספרים פריקים עוקבים שהם: 122, 123, 124, 125, 126. כך קיבלנו מרווח של לפחות חמישה מספרים פריקים. בפועל מספרים אלה הם רק חלק משבעה מספרים פריקים בין המספרים הראשוניים 119 ו-127.
נוסחה זו אמנם פועלת, אבל היא לא נותנת את המרווח המבוקש הראשון. בדוגמה שלנו, מרווח של 5 מספרים פריקים כבר קיים בין המספר הראשוני 23 ל-29. לכן שיטה זו בטוחה, אבל איננה מעשית, במיוחד כאשר המרווח המבוקש הוא גדול. גם אם נבקש מרווח של 9 מספרים פריקים (שהוא לא גדול במיוחד), נצטרך לפי נוסחה זו לחשב !10 שהוא 3,628,800. בפועל נוכל למצוא מרווח של 13 מספרים פריקים בין המספרים 113 ל-127.
גילויים של מספרים ראשוניים
במשך מאות בשנים ניסו מתמטיקאים לגלות דרך פשוטה ויעילה שמאפשרת להם לגלות את כל המספרים הראשוניים עד למספר נתון. אבל אם מספר זה הוא מספר גדול, העבודה נעשית מייגעת ולא פשוטה. וכאשר מספר זה הוא גדול מאוד מאוד, אזי היא נעשית בלתי אפשרית, בהתחשב בעובדה שמספר המספרים הראשוניים בכלל הוא אינסופי. במקרים אלה פיתחו מתמטיקאים נוסחאות שמשכללים אותן כל הזמן שעוזרות לאמוד את מספרם של מספרים ראשוניים עד מספר נתון. הסטיות בין האומדנים למספרם בפועל (במקרים שמספר זה ידוע) הם פעוטים לפעמים.
אולם גם אם המספרים לא כל כך גדולים (נאמר, מספר בן חמש ספרות) – גם אז לא קל לזהות ממבט ראשון אם המספר הוא ראשוני או פריק. קיימת כמובן הבדיקה השטחית הראשונה שעוזרת לזהות את המספרים הפריקים. אם המספר מסתיים בספרה זוגית, באפס או בחמש, הרי ברור שהוא פריק. אם סכום ספרותיו מתחלק ב-3 או ב-9 הרי המספר כולו מתחלק ב-3 או ב-9 בהתאם. מעבר לכך קשה להחליט על ראשוניותו או פריקותו של מספר, ואז יש לנקוט בדרך של פירוק לגורמים שהוזכרה בראשית הפרק. שם נאמר: "לבדוק אם המספר הנתון מתחלק בכל אחד מסדרת המספרים הראשוניים, החל במספר הראשוני הקטן ביותר ואחר כך בגדולים ממנו לפי הסדר." השאלה לא נשאלה אז: איך נדע מה הם המספרים הראשוניים הבאים בתור לבדיקה בשלבים המתקדמים של תהליך הפירוק? איך נדע, למשל, מהו המספר הראשוני שבא אחרי המספר 211? סביר שנשתמש ברשימה מוכנה של מספרים ראשוניים עוקבים בתחום מוגדר של מספרים, אבל איך נוצרו רשימות כאלה? דרך עתיקת יומין בדוקה ופשוטה היא להשתמש במה שקרוי "הנפה של אֶרַטוֹסְתֶנֶס".
הנפה של ארטוסתנס
ארטוסתנס Eratosthenes (276-194 לפני הספירה) היה מלומד יווני שכיהן כספרן ראשי של הספרייה המפורסמת באלכסנדריה. בין עבודותיו המדעיות הוא התפרסם במדידת החלק של קו האורך העובר בין אסואן לאלכסנדריה. מדידה זו הובילה אותו לאמוד את היקף כדור הארץ. אומדן זה נחשב כיום לאומדן מדויק למדיי.
בתחום המתמטיקה הוא נודע בהמצאת שיטה פשוטה לגילוי מספרים ראשוניים בקרב תחום מוגדר, אבל מצומצם יחסית, של מספרים. שיטה זו נקראה במשך הזמן הנפה של ארטוסתנס, שדרכה עוברים המספרים הפריקים ומשאירה בתוכה את המספרים הראשוניים.
כאמור, כאשר הגבול העליון של המספרים שמבקשים לגלות את המספרים הראשוניים שבתוכם הוא נמוך יחסית (כמה עשרות אלפים), הרי הנפה הזו היא כלי נוח ופשוט.
העיקרון של הנפה פשוט ביותר: נרשום את המספרים הטבעיים עד המספר n שברצוננו לכלול בטבלה; נסמן את המספר הראשוני הקטן ביותר, שהוא 2 (1 לא נחשב למספר ראשוני, כי אין לו 2 גורמים), ואחר כך נמחק את כל הכפולות שלו על-ידי העברת קו קטן על המספרים. המספר הבא בטבלה שמופיע אחרי 2 הוא בהכרח המספר הראשוני הבא (אחרת הוא היה נמחק כבר). זהו המספר 3; נסמן אותו (בעיגול, למשל) ונמחק את כל הכפולות שלו מהטבלה (הכפולות הזוגיות של 3 כבר נמחקו בשלב הקודם), שוב על-ידי העברת קו עליהן. במספר הראשוני הבא ובזה שאחריו ננהג באותה דרך. בסופו של דבר יישארו בטבלה כל המספרים הראשוניים ואילו המספרים הפריקים נמחקו באמצעות קו אחד או יותר עליהם. מספר הקווים על מספר פריק כלשהו מצביע על מספר הגורמים הראשוניים הנפרדים distinct prime factors שמהם מורכב המספר. על המספר 42, למשל, העברנו 3 קווים. זה אומר שהוא מתפרק לשלושה גורמים ראשוניים נפרדים והם: 2, 3 ו-7. בטבלה יותר גדולה נצטרך להעביר 4 קווים על המספר 420. לכן המספרים הראשוניים הנפרדים שלו הם: 2, 3, 5 ו-7. בתהליך הפירוק לגורמים הרגיל של מספר זה מופיע הגורם 2 פעמיים, אבל אנו העברנו עליו קו רק פעם אחת. זו המשמעות של המילה "נפרדים".
תהליך הסימון והמחיקה מתקצר אם נזכור שאין צורך לסמן את כל המספרים הראשוניים בזה אחר זה בטבלה. אם רוצים, למשל, לגלות את כל המספרים  הראשוניים בטבלה שמכילה 500 מספרים, דיינו אם נסמן רק את אלה המצויים בתחום ה-500√, כיוון שכל מספר פריק, n, יש לו גורם ראשוני השווה ל-√n או קטן ממנו. במילים אחרות הכפולות של המספרים הראשוניים עד √n כבר נמחקו, והמספרים שנותרו שהם גדולים מ- √n יהיו כולם מספרים ראשוניים.
בדוגמה שלנו די אם נסמן את המספרים הראשוניים עד 500√, שהוא בערך 22 - בסך הכל שמונה: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ו-19. הכפולות שלהם נמחקו והותירו את שאר המספרים הראשוניים עד 500 בתוך הנפה.
 
צורתם של המספרים הראשוניים
בבית-הספר היסודי מלמדים על הנפה של ארטוסתנס, והילדים מתרגלים על טבלה של 10x10 המכילה את מאת המספרים הראשונים. אחרי שמנפים את המספרים הפריקים נשארים בטבלה המספרים הראשוניים מסודרים בארבעה טורים: הטור הראשון, השלישי , השביעי והתשיעי (בטורים: השני והחמישי יש רק מספר ראשוני אחד בכל טור):
-        -    -    7    -    5    -    3    2    -
-    19    -    17    -    -    -    13    -    11
-    29    -    -    -    -    -    23    -
-    -    -    37    -    -    -    -    -    31
-    -    -    47    -    -    -    43    -    41
-    59    -    -    -    -    -    53    -    -
-    -    -    67    -    -    -    -    -    61
-    79    -    -    -    -    -    73    -    71
-    89    -    -    -    -    -    83    -    -
 -    -    -    97    -    -    -    -    -    -
אנו רואים שכל המספרים הראשוניים (מלבד 2 ו-5) מסתיימים בספרות 1, 3, 7     ו-9. זה מובן, כיוון שכל המספרים הראשוניים (חוץ מ-2) הם אי-זוגיים ולכן הם מסתיימים בספרות האלה (כל מספר המסתיים ב-5 הוא פריק, חוץ מהמספר 5 עצמו, כפי שהטבלה מראה). כמו כן מראה הטבלה שטורים אלה לא מלאים; זה אומר שלא כל מספר המסתיים ב-1, 3, 7 או 9 הוא ראשוני. מלבד הדברים הנ"ל, שכמעט כולם מובנים מאליהם, טבלה זו אינה מלמדת דבר חדש על צורתם של מספרים ראשוניים.
אבל אין שום הכרח לרשום את המספרים בעשרה טורים, ואפשר לרשום אותם בכל סדר שנחפוץ. בטבלה הבאה מסודרים המספרים עד 60 בשישה טורים ובתוכם מפוזרים המספרים הראשוניים:
-    5    -    3    2    -
-    11    -    -     -    7
-    17    -    -    -    13        
-    23    -    -    -    19        
-    29    -    -    -    -        
-    -    -    -    -    31
-    41    -    -    -    37        
-    47    -    -    -    43        
-    53    -    -    -    -        
-    59    -    -    -    -        
אנו רואים שהמספרים הראשוניים כולם (מלבד המספרים 2 ו-3) מרוכזים בשני טורים בלבד: הראשון והחמישי. העובדה שחלק מהמספרים הראשוניים מרוכזים בטור הראשון אומרת שכל מספר ראשוני בו משאיר 1 בהתחלקו ב-6, והעובדה שהחלק האחר מרוכז בטור החמישי אומרת שכל מספר ראשוני משאיר 5 בהתחלקו ב-6, או במילים אחרות יש להוסיף לו 1 כדי שיתחלק ב-6. המסקנה תהיה אפוא שהצורה הכללית של מספרים ראשוניים הגדולים מ-3 היא 1± n6 (0n>).
עובדה זו נתגלתה לנו על-ידי סידורם של המספרים בטבלה בת שישה טורים. ראוי גם שנוכיח אותה הוכחה מתמטית:
נניח ש-p הוא מספר ראשוני כלשהו, n הוא המנה כאשר מחלקים את p ב-6 ו-r היא השארית של החילוק. שארית זו יכולה להיות אחד מהמספרים 1, 2, 3, 4 או   5.
וכעת,  6/ r + n = 6/p. אם נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-6 ונצמצם, נקבל:
r + n6 = p
אם r יהיה אחד מהמספרים: 2, 3 או 4, אזי p יהיה מספר פריק כי:
(1+n3)2 = 2 + n6 = p
(1+n2)3 = 3 + n6 = p
(2+n3)2 = 4 + n6 = p
וזה בניגוד להנחה שלנו ש-p הוא מספר ראשוני. על כן, השארית יכולה להיות אך ורק 1 או 5.
אוילר טען שכל מספר ראשוני בעל הצורה 1+n6 (ולא 1-n6) אפשר לבטאו            כ- y23 + x2 =p . כך:
22 * 3 + 52 = 37                12 * 3 + 22 = 7
32 * 3 + 42 = 43                22 * 3 + 12 = 13
22 * 3 + 72 = 61                12 * 3 + 42 = 19
12 * 3 + 82 = 67                32 * 3 + 22  = 31
אילו עובדות נוספות נוכל לגלות אילו כתבנו את המספרים בטבלה בת ארבעה טורים? נבנה טבלה כזאת כדי לקבל את התשובה. הפעם נסתפק ברישום 40 המספרים הראשונים:
-    3    2    -
-    7    -    5
-    11    -    -
-    -    -    13
-    19    -    17
-    23    -    -
-    -    -    -    
-    31    -    29
-    -    -    -
-    -    -    37
גם כאן מרוכזים המספרים הראשוניים (מלבד ה-2) בשני טורים: הראשון והשלישי. העובדה שחלק מהמספרים הראשוניים מתרכז בטור הראשון אומרת שכל מספר ראשוני (מלבד ה-2) משאיר 1 בהתחלקו ל-4, ואילו העובדה שהחלק האחר מתרכז בטור השלישי אומרת שכל מספר ראשוני (מלבד ה-2) משאיר 3 בהתחלקו ל-4 (או, במילים אחרות, יש להוסיף לו 1 כדי שיתחלק ל-4). עובדה זו היא טריביאלית (במובן: אין בה חידוש, או היא מובנת מאליה), כיוון שכל מספר אי-זוגי הוא כזה. יוצא שבנוסף לצורה הכללית הקודמת שצוינה, יש צורה כללית נוספת של המספרים הראשוניים הגדולים מ-2, והיא 1± n4 (0> n).
יש תמיד לזכור שלא כל המספרים בעלי הצורה 1± n4, וכן לא כל המספרים בעלי הצורה 1± n6 הם מספרים ראשוניים. יעידו על כך המקומות הריקים בטורים: הראשון והשלישי בטבלה הקודמת והמקומות הריקים בטורים: הראשון וחמישי בטבלה שלפניה.
נציין עוד שאפשר לתאר בדרך אחת ויחידה את המספרים הראשוניים בעלי הצורה 1+n4 כסכומם של שני מספרים ריבועיים שהם זרים זה לזה (כלומר אין להם גורם משותף מלבד 1):
62 + 12  =  37            22 + 12 = 5
52  + 42 = 41            32 + 22 = 13
72 + 22  = 53            42 + 12 = 17
62 + 52  = 61            52 + 22 =29
זו הייתה תגליתו של פרמה, שסיפר עליה במכתב ששלח למרסן בחג המולד של שנת 1640. הוא טען שם, כהרגלו, שיש בידו הוכחה לתגליתו, אבל הוא לא סיפק אותה. אוילר היה הראשון שהוכיח אותה. היא נודעת בשם הנחת שני הריבועים של פרמה Fermat`s two squares theorem, או בפשטות הנחת פרמה. את המספרים הראשוניים בעלי הצורה 1-n4 לא ניתן לתאר כך. הוכחה? בבקשה. ראשית עלינו להסב את תשומת לב הקורא שבצד הימני של המשוואה לעיל ישנם שני מספרים שאחד מהם הוא זוגי והשני הוא בלתי זוגי, וזה מובן מכיוון שמדובר במספרים ראשוניים (משמאל לסימן השוויון) שכולם (חוץ מ-2) הם מספרים אי-זוגיים. כדי שהסכום של שני מספרים יהיה מספר אי-זוגי, אחד מהשניים חייב להיות זוגי והשני חייב להיות אי-זוגי. ההעלאה בריבוע של כל מספר אינה משנה את המצב. בשפה הפורמלית של המתמטיקה מספר זוגי מסומן ב-2n, ומספר       אי-זוגי מסומן ב-1 +2n. נעלה את המספר הזוגי בריבוע ונקבל: 4n2. גם את המספר האי-זוגי נעלה בריבוע ונקבל: 1 + 4n2+4n. נחבר את שני הסכומים ונקבל: 1+ 4(2n2+n)+1 = 4n2+4n2+4n, שזהו ביטוי שצורתו גם היא4n+1 .
יתר על כן, מספרים ראשוניים בעלי הצורה 4n+1, שאת חלקם רואים למעלה בצד השמאלי של המשוואה, נקראים מספרים ראשוניים פיתגורייםPythagorean primes, כיוון שכל אחד מהם מככב בשלשה פיתגורית, כשהוא הגדול בשלשה:
32 + 42 =52                               82 + 152 = 172                    122 + 352  = 372
52 + 122 = 132                           202 + 212 = 292                  92 +  402  =  412
וכן הלאה. שלשות כאלה מוכרות על ידי תלמידי בית-הספר כאשר למדו על משפט פיתגורס. שני המספרים הקטנים בשלָשה מייצגים את הניצבים במשולש ישר-הזווית, ואילו המספר הגדול מייצג את היתר שבו. יש אינסוף מספרים ראשוניים פיתגוריים. על כן יש אינסוף שלשות פיתגוריות.
הסדרה הראשונה המורכבת מתשעה מספרים ראשוניים פיתגוריים עוקבים היא הסדרה: 11593, 11597, 11617, 11621, 11633, 11657, 11577, 11681 ו-11689.
האם שתי צורות אלה ( 4n+1ו-n-14) מתחלקות לאורך ציר המספרים שווה בשווה או שיש יתרון מספרי של צורה אחת על אחותה?
נכתוב בשורה אחת את המספרים הראשוניים בעלי הצורה 4n+1 בתחום המאה הראשונה, ומתחתיה נרשום את המספרים בעלי הצורה 4n-1 באותו התחום:
5  13  17  29  37  41  53  61  73  89  97                                                         1   4n+
3  7   11   19  23  31  43  47  59  67  71  79  83    4n-1                                      
אנו רואים שהשורה התחתונה "מנצחת במירוץ". האם זה יהיה המצב ככל שנאריך את הסדרות? אחד המתמטיקאים יועץ לנו לא להמשיך לבדוק, כיוון שהסדרות יהיו ארוכות כל כך עד שהשורה העליונה "תשיג" את התחתונה – וגם אז לא הוכחנו דבר, כיוון שלא נוכל להסיק על ההמשך! אנחנו בכל זאת בדקנו את המצב בתחום ה-200 וה-300, ונוכחנו שאין מהפך באותם תחומים, ולכן, באין רצון לערוך בדיקות נוספות, אנו מעדיפים לקבל את המלצתו של אותו מתמטיקאי. בדיעבד מסתבר שנהגנו בחכמה, כיוון שב-1957 התגלה בחיפוש ממוחשב שרק לאחר שרשמנו 1472 איברים בכל סדרה מתחולל המהפך באיבר   ה-1473 והסדרה העליונה "תשיג" את התחתונה. יש טוענים שבמהלך מירוץ אינסופי יהיו גם מהפכים אינסופיים. אבל כל אלה הן השערות. בתורת המספרים יש הרבה השערות לא מוכחות!
אותם הדברים נכונים גם לגבי המספרים הראשוניים בעלי הצורות 6n+1 ו-6n-1.
לבסוף נציין שהוכח שיש אינסוף מספרים הן לצורה 4n+1 והן לצורה 4n-1.
נוסחאות המפיקות מספרים ראשוניים
העובדה שהצורות הכלליות של המספרים הראשוניים: 1± n6 ו- 1± n4 אינן הצורות של המספרים הראשוניים בלבד, אלא גם של מספרים פריקים אחרים היא עובדה מצערת לגבי החובב והמקצוען כאחד; כי אילו היו צורות אלו מתאימות אך ורק למספרים ראשוניים, לא היה שום קושי להבחין בין מספרים ראשוניים למספרים פריקים. אבל כיוון שהמצב אינו כזה, כל מה שאנו יכולים לקבוע הוא אם מספר מסוים יכול להיות ראשוני, וזאת על-ידי הבדיקה אם הוא עונה לאחת משתי הצורות הנ"ל. אם הוא אינו עונה, ברור לנו שהוא לא יכול להיות מספר ראשוני. בעיה זו ממצה את אופיים של המספרים הראשוניים – היותם חמקמקים ולא נכנעים בקלות לנוסחאות.
נוסחה כללית אחת שתגלה את כל המספרים הראשוניים אין בנמצא. לעומת זה, המציאו מתמטיקאים שונים נוסחאות שמגלות רק חלק מהמספרים הראשוניים.
קיימות כמה נוסחאות רב-אבריות (פולינומיות) כאלה, המפיקות מספרים ראשוניים אם מציבים במקום ה-x שלהם כמה עשרות ערכים עוקבים, אבל במוקדם או מאוחר מגיעים למספרים פריקים. נוסחה מפורסמת היא נוסחתו של אוילר:
                                                    41+x+x2
כאשר מציבים בהן במקום x את הערכים 0-‏39, נקבל מספרים ראשוניים:
x    41+x+x2     x    41+x+x2    x    41+x+x2
0    41        26    743        38    1523
1    43        27    797        39    1601
2    47        28    853        40    1681=412 פריק
3    53        29    911        41    1763=41*43 פריק
4    61        30    971        42    1847 שוב ראשוני
-    -        -    -        -    -
-    -        -    -        -    -
למעשה אם מציבים את המספרים 100-0 בנוסחה זו (שניתן לה השם הפולינום של אוילר) נקבל מספרים ראשוניים ב-86 מקרים.
הנוסחה של המתמטיקאי הצרפתי אנדרייֶן לֶזַ`נְדְר (1833-1752): 41+x-x2  תיתן אותן תוצאות, אבל מוזזות צעד אחד אחורה. כך, אם מציבים 3 (ולא 2) במקום x, למשל, נקבל 47, ואם נציב 40 במקום x, נקבל 1601, שהוא מספר ראשוני.
אם נמיר את x בנוסחה הראשונה ב-(40-x), נקבל את הנוסחה:
                                 41+(40-x)+2(40-x)=1601+x79-x2
בנוסחה הקודמת, כלומר 40 מספרים ראשוניים בלבד, שכל אחד מהם חוזר על עצמו עוד פעם אחת. אם נציב, למשל, את המספרים 0 ו-79 במקום x נקבל את המספר הראשוני 1601. כן נקבל אותה תוצאה, 1523, אם נציב במקום x את המספרים 1 ו-78.
לאחרונה נערכה באינטרנט תחרות למציאת נוסחאות רב-אבריות המפיקות מספרים ראשוניים. מאז 2005, הוגשו חמש עשרה נוסחאות, שמהן אנו בחרנו שלוש:
הנוסחה                מספרים ראשוניים 0-x
29+x22                0‏-28
2971+x537-x243        0‏-34
2753+x810- n236                         0-‏45
צורות מיוחדות של מספרים ראשוניים
קיימות כמה צורות מיוחדות של מספרים ראשוניים. החשובים שבהם הם:
א) מספרי מרסן
כיוון שמספרים אלה קשורים למספרים משוכללים, הקדשנו לשניהם פרק מיוחד.
ב) מספרי פרמה
במכתבים ששלח פרמה לידידו פרניקל, לפסקל ולאחרים הוא העלה את ההשערה שמספרים שצורתם 1‏+2n הם מספרים ראשוניים. וכעת, כדי שמספר מצורה זו יהיה ראשוני, מעריך החזקה, n,  אינו יכול לכלול גורם שהוא מספר אי-זוגי, כיוון שאם מציבים מספר אי-זוגי הגדול מ-1 במקום n, למשל המספרים: 3, 5, 7, 9, 11 וכו`, התוצאה תהיה מספר פריק. אבל מספר שאין לו גורם אי-זוגי כלל חייב להיות מספר שהוא חזקה כלשהי של 2, דהיינו מהצורה  n‏2. מכאן אנו מגיעים לניסוח חדש של השערת פרמה: מספרים בעלי צורה ‏‏‏1‏+22^n (2 בחזקת 2 בחזקת n) הם מספרים ראשוניים. פרמה הצהיר שאין לו הוכחה מספקת להשערתו.
המספרים שאותם גילה פרמה בנוסחתו הם:
3=1 22^0+= F0 (F =פרמה, המספר הזעיר מתחת ל-F מסמל את החזקה n)
5=22^1+1 = F1
17=22^2+1=F2
257=22^3+1=F3
65,537=22^4+1=F4
ואכן כל המספרים האלה הם מספרים ראשוניים המכונים המספרים הראשוניים של פרמה (שאר המספרים שעונים על נוסחה זו מכונים בפשטות מספרי פרמה). מעניין שכל אימת שפרמה טען שיש בידו הוכחה למשפט כלשהו, איש לא יכול היה להוכיח את ההפך. במקרה שלנו הוא הצהיר שאין בידו הוכחה מניחה את הדעת לטענתו. כמאה שנים לאחר השערתו, בשנת 1732, בא אוילר והוכיח שמספר פרמה השישי (F5) הוא מספר פריק: F5=4,294,967,297=22^5+1=232+1= 6,700,417*641. בדיעבד נראה לנו היום מוזר ולא מוסבר איך מתמטיקאי גאון כמו פרמה, שיכול היה לפרק לגורמיו מספר כמו 100,895,598,169 (898423*112303) במהירות ובקלילות של קוסם השולף שפן מן הכובע, יכול ל"פספס" גורם קטן למדיי, 641, של F5. אוילר לא הגיע למספר הזה בדרך של ניסוי וטעייה, אלא הוא הוכיח לפני כן, שאם מספר פרמה כלשהו הוא פריק, אזי כל גורם ראשוני שלו צריך להיות בעל צורה 1+k n+1‏‏‏2 כאשר k הוא מספר חיובי כלשהו ו-n שייך לסימן Fn. לפי זה למספר פרמה השישי (F5) צריך להיות גורם ראשוני בעל צורה 1+k26 או 1+k64. אם נציב במקום k  את המספרים 1 עד 10 ניווכח שרק אם נציב את המספרים 3, 4, 7, 9 ו-10 נקבל מספרים ראשוניים ואלה הם: 193, 257, 449, 577 ו-641. הוא לא היה זקוק לזמן רב (בסך הכל 5 פעולות חילוק) עד שקבע ש-641 הוא גורם ראשוני של F5. אין לנו עדות שהגורם השני (המספר 6,700,417) עניין אותו כלל. קל ביותר להוכיח שגם הוא מספר ראשוני. ההוכחה סוטה במידת מה ממרכז הדיון שלנו. אנו מביאים אותה כאן רק כדי להראות כיצד תוקפים מתמטיקאים בעיה כזו: אם מספר זה הוא מספר פריק הרי הגורם הראשוני שלו צריך להיות קטן מהשורש הריבועי שלו, שהוא קצת יותר מ-2588, והוא צריך להיות בעל הצורה64k+1 . בתוך מספר זה יש 40 מספרים בעלי צורה זו. 10 כבר בדקנו. מתוך השלושים שנותרו רק 7 מספרים הם ראשוניים, ואלה הם: 641, 769, 1153, 1217, 1409, 1601 ו-2113. בעזרת מחשבון רגיל ניווכח שאלה לא מחלקים את המספר 6,700,417. מכאן שהוא ראשוני. כך רואים שמספר פרמה השישי הוא למעשה מספר ראשוני-למחצה (כלומר הוא מתפרק אך ורק לשני מספרים ראשוניים).
              
אין אזהרה יותר מוחשית למתמטיקאי החובב שלא לקפוץ למסקנות נמהרות, המסתמכות על דוגמאות מספריות, רבות ככל שיהיו, ולא על הוכחה מתמטית מחמירה, מאשר טעות זו של גאון כפרמה! מה שמחמיר את טעותו היא העובדה שכל מספרי פרמה (4 n> , Fn) הידועים לנו כיום הם מספרים פריקים. עובדה זו מעלה את השאלה שאין לנו עליה תשובה עדיין: האם חמשת המספרים הראשונים של פרמה הם המספרים הראשוניים היחידים הקיימים מבין מספרי פרמה? במילים אחרות האם ייתכן שיימצא מספר פרמה ראשוני כאשר Fn>4? ואם יימצא מספר כזה, האם ייתכן שיש אינסוף מספרים כאלה? מהצד השני, האם קיימים אינסוף מספרי פרמה שהם מספרים פריקים? כיום ידועים מספרי פרמה פריקים מ-F5 עד F32, אבל פירוק שלם לגורמים, כלומר ציון כל הגורמים שמכפלתם יתנו את מספר פרמה, ידוע לנו רק עד F11 – נכון לשנת 2010. מספר הגורמים הראשוניים של כל אחד ממספרי פרמה: F5, F6, F7 ו-F8 הוא שניים, ל-F9 יש שלושה גורמים ראשוניים, ל-F10 יש ארבעה ול-F11 – חמישה. את המספר האחרון הזה הצליחו לפרק לגורמים רק בשנת 1988.
ג) מספרי וילסון
לא אחת קורה שאדם כובש את מקומו בהיכל התהילה במקרה, או בנסיבות שהוא עצמו לא חלם עליהם. כך קרה למתמטיקאי האנגלי סר ג`ון וילסון (1793-1741), אחד התלמידים המצטיינים במתמטיקה באוניברסיטת קיימברידג`, שפיתח אחד המשפטים המעניינים בתחום תורת המספרים. הוא עצמו לא ייחס לתגליתו חשיבות מיוחדת, והיא הייתה נשכחת או מתגלה מחדש כעבור שנים (כפי שקרה למשפט האחרון של פרמה) אלמלא פרסם אותה בשנת 1770 באחד מספריו המתמטיקאי האנגלי אדוארד ויירינג (1736?-1798), שהיה המורה של וילסון באותה אוניברסיטה. בכך העניק ויירינג לווילסון משהו מחיי הנצח הנכספים!
וילסון טען שאם p הוא מספר ראשוני, אזי הוא יחלק את 1+!(1-p). לא ויירינג ולא וילסון פרסמו הוכחה למשפט. ייתכן שווילסון הגיע למסקנה זו על-סמך חישובים מספריים בלבד. זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1771, הוכיח המתמטיקאי והאסטרונום הצרפתי ז`וזף לגראנז` (1813-1736) את טענתו של וילסון (שנודעה לימים בשם משפט וילסוןWilson`s theorem ), וגם הראה שהטענה ההפוכה נכונה אף היא. כלומר, אם מספר כלשהו, n, מחלק את הביטוי 1+!(1-n) אזי מספר זה הוא ראשוני.
כעת ננסה ללכת בעקבות חישוביו המספריים של וילסון ולבחון את טענתו. נניח שרשמנו לפנינו את המספרים מ-1 עד 11, למשל, והכפלנו אותם זה בזה:
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11. לפעולה זו יש שם וסימן מיוחדים במתמטיקה. השם הוא עצרת, וסימנו ! (הסימן עצמו הומצא בגרמניה בשנת 1808). פעולת הכפל שביצענו תיקרא אפוא "אחת עשרה עצרת", והיא תסומל כך:!11. ברור מאליו    ש-!11 מתחלקת לכל אחד מהמספרים 1 עד 11. אם נשמיט מהפעולה את המספר 11, ברור יהיה שהמכפלה של עשרת המספרים הנותרים, כלומר!10, לא תתחלק  ב-11, כי 11 הוא מספר ראשוני, ומכפלה שאינה מכילה מספר זה או אחד מכפולותיו לא תתחלק לעולם ב-11. אבל אם נוסיף למכפלה 1, ראה זה פלא! התוצאה כן תתחלק ב-11. גם המספר 1+!6=721, מתחלק ב-7 ללא שארית. אם נכליל את שתי הדוגמאות שהבאנו נוכל לומר שהביטוי 1+!(1-p) מתחלק תמיד   ב-p, אם ורק אם p הוא מספר ראשוני.
ישנם מקרים בודדים שלא רק p מחלק את הביטוי 1+!(1-p) כסימן לראשוניותו, אלא שביטוי זה מתחלק גם ל- p2. מקרים בודדים אלה הידועים לנו עד כה הם כאשר p=5, 13, 563. לשלושת המספרים האלה ניתן השם המספרים הראשוניים של וילסון Wilson primes .  
                                                                                                      
ייתכן שווילסון בנה טבלה דומה לטבלה הבאה, אולי ארוכה יותר(אבל לא הרבה יותר ארוכה) עד שהגיע לניסוח המשפט שלו:
n    !(1-n)           1+!(1-n)    השארית של    טיב המספר    
                             n/[1+!(1-n)]
2    !1=1                        2        0        ראשוני
3    !2=2           3           0        ראשוני
4    !3=6           7        3        פריק
5    !4=24           25        0        ראשוני
6    !5=120           121        1        פריק
7    !6=720           721        0        ראשוני
8    !7=5,040       5,041        1        פריק
9    !8=40,320       40,321    1        פריק
10    !9=362,880       362,881    1        פריק
11    !10=3,628,800       3,628,801    0        ראשוני
12    !11=39,916,800       39,916,801    1        פריק
13    !12=479,001,600  479,001,601    0        ראשוני
אנו מבחינים בטבלה שכאשר n הוא מספר פריק (4, 6, 8, 9, 10 ו-12) גם התוצאה תהיה מספר פריק. במקרים אלה המספר אינו מתחלק ללא שארית. כך אפשר לנסות כל מספר n. אם 1+!(1-n) מתחלק ל-n ללא שארית, אזי n הוא מספר ראשוני, ולא – הוא מספר פריק. אלא שהדבר נכון בתיאוריה, כיוון שלמעשה החישוב הוא כמעט בלתי מעשי לגבי n דו-ספרתי (לא מתקבל על הדעת לבדוק אם המספר 23, למשל, הוא מספר ראשוני על יד חילוק 1+!22 ב-23), ולא מעשי לחלוטין לגבי מספרים יותר גדולים. כיוון שכאשר n גדל, !(1-n) מגיע במהירות לגדלים שאי אפשר לטפל בהם. מסקנה: למשפט וילסון אין ערך מעשי, אף על פי שביחד עם הכיוון ההפוך שלו מספקים תנאי הכרחי ומספיק לבדיקת הראשוניות.
4) מספרי סופי ז`רמן
סופי ז`רמן (1776-‏1831) הייתה מתמטיקאית צרפתייה מחוננת שעסקה בעיקר בחקר האקוסטיקה והאלסטיות של חומרים. חלק ממחקריה היא הקדישה גם לתורת המספרים, ובמסגרתה - למשפט האחרון של פרמה (ראה עמ`   ). היא קיימה קשרי מכתבים עם המתמטיקאים לגראנז` וגאוס בזהות שאולה. זה האחרון העריך את כישרונה והמליץ עליה ללמוד לתואר דוקטור באוניברסיטת גטינגן.
המספר הראשוני שנקרא על שמה הוא מספר p שאם מכפילים אותו בשתיים ומוסיפים 1 (1+p2) התוצאה תהיה גם היא מספר ראשוני. 23 הוא מספר ראשוני מסוג סופי ז`רמן כיוון ש 47=1+ 23*2, גם הוא מספר ראשוני. לעומתו, המספר 13 אינו כזה, כיוון ש-27=1+ 13*2 אינו מספר ראשוני. עשרת המספרים הראשוניים הבאים בתחום המאה הראשונה: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89 הם מספרי סופי ז`רמן. יש הסבורים שקיימים אינסוף מספרים כאלה, אבל אין הוכחה לכך עדיין.
לגבי המשפט האחרון של פרמה היא הראתה בשנת 1825 שהמשפט כנראה נכון אם ה-n במשוואה המוכרת zn=yn+xn הוא מספר ראשוני מסוג מספרי ז`רמן או כפולותיו. במילה "כנראה" היא מרמזת שאם קיים פתרון למשוואה, כי אז אחד מהערכים: x, y ו-z חייב להתחלק ב-n כזה. תובנה זו עזרה מאוחר יותר בהוכחת נכונותו של המשפט כאשר 5=n. 5 הוא, כפי שמראה הסדרה לעיל, הוא מספר ראשוני מסוג סופי ז`רמן.
כמה מתכונותיהם של מספרים ראשוניים
•    אם p הוא מספר ראשוני ו-a הוא מספר כלשהו, אזי a-ap מתחלק ב-p (משפט פרמה הקטן). אם 5=p ו-2=a, אזי 25-2=30 מתחלק ב-5.
•    אם p הוא מספר ראשוני אחר מאשר 2 או 5, אזי 1/p יהיה תמיד שבר מחזורי שהמחזור שלו הוא 1-p או אחד המחלקים שלו (ראה הפרק על שברים מחזוריים).
•    מספר p הוא מספר ראשוני אם ורק אם 1+!(1-p) מתחלק ב-p (משפט  וילסון).
•    המספר 4> n הוא מספר פריק אם ורק אם !(1-n) מתחלק ב-n. אם 8= n, אזי !7= 5040 מתחלק ל-8. 8 הוא מספר פריק. אבל אם 7=n, אזי !6=720 אינו מתחלק ל-7, כיוון ש-7 הוא מספר ראשוני.
•    סכומם של זוג תאומים ראשונים מתחלק תמיד ב-12: 19+17=36=12*3 ; 31+29=60=12*5.
•    ההפרש בין שני מספרים ראשוניים (3p>) המועלים בחזקה שנייה מתחלק תמיד ב-24: 72- 112=72=24*3.
•    כל מספר אי-זוגי גדול מ-5 אפשר להציגו כ- p1+2p2 (p1 ו-p2 הם מספרים ראשוניים): 35=11*2 +13 ; 21= 5*2 +11. משפט זה נודע בשם השערת לגרנז` על שם המתמטיקאי הצרפתי ז`וזף לגרנז`. הוא ניסח אותה בשנת 1775.
•    בין המספר n (3<n) ל-n2 יש לפחות מספר ראשוני אחד. משפט זה נודע בשם השערת ברטרן, על שם המתמטיקאי הצרפתי ז`וזף ברטרן       (1900-1822). הוא ניסח אותה בשנת 1845 והמתמטיקאי הרוסי צ`בישייב הוכיח אותה בשנת 1850.  
•    בכל סדרה חשבונית שבה המספר הראשון וההפרש בין האיברים הם זרים זה לזה – בכל סדרה חשבונית כזאת יש אינסוף מספרים ראשוניים (משפט דיריכּלה):...29, 26, 23, 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2
•    סכום המספרים ההפכיים של כל המספרים הראשוניים שואף לאינסוף.
 שאלות לא פתורות
ישנן כמה שאלות שאין עליהן עדיין תשובה:
    המוכרת ביותר מבין ההשערות הקשורות למספרים הראשוניים היא השערת גולדבך. בשנת 1742 כתב המתמטיקאי הגרמני כריסטיאן גולדבך (1764-1690) איגרת לאוילר, שבה הוא הביע את ההשערה שכל מספר הגדול מ-2 ניתן להביעו כסכומם של 3 מספרים ראשוניים. גולדבך החשיב בזמנו את המספר 1 כמספר ראשוני. כיום מנוסחת ההשערה כך: כל מספר זוגי הגדול מ-2 ניתן לבטאו בדרך אחת או יותר כסכומם של שני מספרים ראשוניים: 3+5=8; 3+11, 7+7=14; 3+19, 5+17, 11+11=22. ברור שככל שהמספר גדל כן גדל מספר הדרכים לבטאם כך. המספר מאה מיליון, למשל, אפשר לבטאו כסכום של שני מספרים ראשוניי בלמעלה מ-200 אלף דרכים.
       לגבי מספרים "קטנים" יחסית, אין בעיה לאמת את ההשערה
       באופן ישיר – על ידי ניסויים מספריים. ואכן עוד בשנת 1938
       אימת אותה אחד המתמטיקאים עד ל-100 אלף. עם השימוש    
       במחשבים מתוחכמים בימינו אומתה ההשערה עד למספר בן      
       22 ספרות. ובכל זאת עדיין מחכה ההשערה ליהפך למשפט   
        מתמטי מוכח. עד כה עלו כל המאמצים בתוהו, וכל מה     
        שנותר הוא לחכות לגאון התורן שיוכיח אותה.
    לא ברור אם תמידיש מספר ראשוני בין מספר ריבועי אחד        למספר הריבועי העוקב שלו. בניסוח מתמטי: האם תמיד יש            מספר ראשוני בין n2 לבין (n+1)2?
    לא ידוע אם קיימות אינסוף קבוצות של 5 מספרים אי-זוגיים עוקבים שרק אחד מהם פריק והשאר ראשוניים: 3, 5, 7, 9, 11 ; 5, 7, 9, 11, 13 ; 101, 103, 105, 107, 109 ; 191, 193, 195, 197, 199.
    השערה שכל מספר זוגי אפשר לבטאו כהפרש בין שני מספרים ראשוניים עוקבים באינסוף אפשרויות (למשל, 6=29-23=37-31=59-53=67-61) לא הוכחה מעולם וגם לא נדחתה. זו השערתו של המתמטיקאי הצרפתי אלפונס דה פוליניאק (1890-1817) שניסח אותה בשנת 1849. משתמע מהשערה זו שיש אינסוף מספרים תאומים, שגם היא השערה שלא הוכחה. לקטגוריה זו שייכים המספרים הדודנים והסקסיים, שהגדרנו והדגמנו בסעיף קודם.
 

מאחר והוכח שמספרם של המספרים הראשוניים הוא אינסופי, מובן מאליו שקיימים מספרים ראשוניים גדולים ביותר שאין אנו יודעים על קיומם. מספרם של מספרים ענקיים אלה גם הוא אינסופי. לא ברור אם יש כיום תועלת מעשית בגילוים, אבל מי יודע... מכל מקום מדענים וחובבים כאחד שוקדים לרדוף אחר המספר הראשוני הגדול ביותר ולחשוף אותו לציבור. זו אחת מתכונות הרוח האנושית ששואלת את השאלות "מה" ו"איך" ומתעלמת לשעתה מהשאלות "בשביל מה" או "לשם מה". כך מתקדם תחילה המדע התיאורטי המופשט, ואחריו מתפתח המדע היישומי, וזה בתורו מעורר שאלות תיאורטיות וחוזר חלילה.

 

לענייננו..מסתבר שמתנהל במדינת מיזורי שבארצות-הברית פרויקט שמטרתו לגלות את המספר הראשוני  הגדול ביותר, ובו מעורבים משנת 1996 אלפי מחשבים שאמורים לבצע את החיפוש. הדרך היעילה ביותר לגלות מספר ראשוני גדול מאוד עוברת דרך גילוי מספר מרסן. למספרי מרסן הקדשנו מאמר מיוחד והקורא מוזמן לפנות אליו. מתוך המאמר נזכיר את הנוסחה של מספרי מרסן והיא: M=2p-1, כאשר Pהוא מספר ראשוני. המספר הראשוני הגדול ביותר(שהוא גם מספר הגדול ביותר - ה-48 במספר) נתגלה בשלהי פברואר 2013 והוא מורכב מ-2 בחזקת 57,885,161 פחות 1. מספר זה מכיל 17 מיליון ספרות בעוד שהמספר הראשוני הקודם לו בגודלו מכיל 13 מיליון ספרות והוא נתגלה בשנת 2008. מנהלי הפרויקט טוענים שכדי לגלות מספר זה היה צריך להפעיל תוכנת חישוב שמעורבים בה יותר מאלף מחשבים, ושאחד המחשבים האלה נזקק ל-39 יום כדי לבדוק אם אכן המספר שנתגלה הוא מספר ראשוני

אין לקדם פוסט זה

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל ExcelMath91 אלא אם צויין אחרת