00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

{ [ ( בניית עזר ) ] } - מתמטיקה, תכנות, סיכומים לבחינות הבגרות ואקסל

<<<<
 
   מתמטיקה 
   ונושאים 
   נוספים 
 
משפטים, נוסחאות ומתמטיקאים על ציר הזמן  תורת המספרים  תכנות C++/C  קומבינטוריקה  מתמטיקה/EXCEL  אסטרונומיה

משפטים בגאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה - הדגמה ויזואלית ופתרונות לשאלות מהבגרות ומספרי הלימוד 
 
  אהרן מוריאלי  תורת המספריםסקירות מתמטיות-היסטוריות ספרים ריבועי קסם  הקסם שבמספרים מיהו מי-חידות היגיון רשימה
   המשפט האחרון של פרמה מספרי קרמייקל מספרים משוכללים מספרים ראשוניים פרפראות מתמטיות המספר ומחלקיו
   
מספרי מרסן   פעילויות בלוח הכפל  
  ערבית   לוחות פעלים במערכת הפעל הערבי, תחביר ודקדוק       -     טבלת אותיות וניקוד בערבית 
  סרגלי הפועל והתחביר הערבי - רות בן-אבי   -     חלוקה לוגית של האותיות בערבית - ניצה בינדר
  מאגר מת"ל-
  חומרי למידה
  אסטרטגיות למידה/הוראה/חשיבה/קריאה/אוריינות ---מדע וטכנולוגיה מתמטיקה פיזיקה כימיה גנטיקה     
  היסטוריה וציונות  יהדות  תנ"ך גאוגרפיה ---אזרחות ספרות---לשון   ערבית   אנגלית      
שכיחות אותיות בשפה העבריתפרדוקסים סמנטיים ולוגיים

חידת חלוקת הגמלים / אהרן מוריאלי

המאמר מובא באדיבותו של הסופר אהרן מוריאלי (רשימת ספרים)

חידת חלוקת הגמלים היא חידה קלאסית עתיקת-יומין.
במאמר נסקרות מספר גרסאות לחידה זו, והדרך
להתרת כל אחת מהן באמצעות שימוש בשברים מצריים.








































כקובץ טקסט (עדיף להסתמך על קובץ התמונה למעלה):
חלוקת הגמלים

חידה קלאסית מוכרת מספרת על סוחר ערבי שהוריש לשלושת בניו 17 גמלים, כך שהבכור,a , יקבל חצי מכמות הגמלים, הבינוני, b– שליש והצעיר, c– תשיעית.

ממבט ראשון, בלתי אפשרי לקיים את הצוואה כלשונה מבלי שיצטרכו לבתר את אחד הגמלים ולחלק את בשרו בין הבנים. אלא שזימן להם מזלם הטוב קאדי פיקח וממולח שחיבל תחבולה שאפשרה לו לחלק את הגמלים כשהם בריאים ושלמים, וזאת מבלי לחרוג מתנאי הצוואה. הוא הוסיף ל-17 הגמלים גמל משלו (זה בוודאי לא עורר התנגדותם של הבנים, ואולי הם אפילו קיוו שמשהו יתווסף לחלקו של כל אחד מהם) ואת 18 הגמלים הוא חילק כך: הבכור קיבל את חציים – 9 גמלים, הבינוני קיבל שליש - 6 גמלים והצעיר קיבל תשיעית - 2 גמלים - בסך הכול 17 גמלים, ואת הגמל שנותר, הגמל שלו, הוא קיבל בחזרה לרשותו!

 

אכן פתרון מבריק, שגם קיים את תנאי הצוואה וגם הקפיד שהגמלים יחולקו בין הבנים כשהם חיים ובועטים!

 

אם מתבוננים בעין מתמטית בתנאי הצוואה ובפתרון המוצע, אנו מבחינים                                                                                                                                           בנקודות הבאות:

א) כל שבר שונה מרעהו, וכל אחד מהם הוא בעל צורה של 1/x,

ב) סכום השברים 1/a+ 1/b+ 1/cהוא בעל צורה x/(x+1). במקרה שלנו הסכום הוא: 17/18 = 1/9 + 1/3 +  1/2 (1) -  הפרש של 1 ורק 1 בין המונה למכנה. במילים אחרות, יש להוסיף  d/1 (1/18) כדי להשלים את כל השברים ליחידה שלמה אחת: 1/2+1/3+1/9+1/18=1. משמעות התנאי הזה הוא שהקאדי יצטרך לתרום (ואחר כך לקבל בחזרה) אך ורק גמל אחד,

ג) המכנה x+1יתחלק ב- a, bו-cללא שארית. תנאי זה מבטיח שהחלוקה תתקיים מבלי שיהיה צורך לבתר את אחד הגמלים.

 

מה עושה את החידה הזו לחידה מעניינת? כדי להשיב על שאלה זו, ננסה לחבר "חידות" דומות ואחר כך לעמוד על ההבדלים.

נניח שלסוחר היו 12 גמלים והוא מצווה לחלקם כך: חציים לבן הבכור, שליש – לבינוני ושישית לצעיר. הפתרון יהיה פשוט ביותר: הבכור יקבל 6 גמלים, הבינוני – 4 והצעיר 2. ברור שאין לקרוא לשאלה זו חידה. זוהי בעייה חשבונית פשוטה עבור תלמידים מכיתה ה' או ו'.

 

ועכשיו נשנה את הנתונים. הסוחר מצווה לחלק את 12 הגמלים כך שהבכור יקבל חצי, הבינוני – שליש והצעיר רבע. לפי זה הבכור יקבל 6 גמלים, הבינוני יקבל 4 גמלים והצעיר יקבל 3 גמלים – בסך הכל 13 גמלים. במקרה זה יצטרך

 

(1) שבר שהוא סכום של שברים חיוביים שונים שהמונה של כל אחד מהם הוא 1 נקרא בשפת המתמטיקה שבר מצרי. המצרים ביטאו כל שבר כסכום של מספר סופישל מספרים הופכיים reciprocals, למשל: 1/42+ 1/3+ 1/2 = 6/7 הוא שבר מצרי בעל שלושה איברים.

הקאדי להוסיף גמל אחד משלו, אבל הוא לא יקבלו בחזרה! אין עוקץ ואין "חידה".

 

כעת נניח שיש לסוחר 17 גמלים לחלק. הוא מצווה שהבכור יקבל חצי, הבינוני – רבע והצעיר עשירית. כיצד יעשה זאת? אם ינקוט באותו "פטנט" של החידה המקורית יצטרך הקאדי להוסיף 3 גמלים משלו כדי שהבכור יקבל 10 גמלים, הבינוני – 5 והצעיר – 2. בסך הכל חולקו 17 הגמלים והקאדי קיבל בחזרה את שלושת הגמלים שלו. אבל דומה שכולנו מרגישים שפתרון זה מאולץ ומגושם, לעומת החידה המקורית שפתרונה אלגנטי ומפתיע. אמנם אותו דוק של מסתורין שבו עטתה החידה הוסר. אנו הסרנו אותו בעיקר בעזרת הדוגמה האחרונה, והראינו שהפתרון המוצע יכול להתאים לסוגים שונים ומשונים של חידות מאותו דגם.

 

לאחר כל מה שנאמר, אנו מוסיפים עוד נדבך לחידה, בחינת חידה בתוך חידה, ונשאל: כמה וריאציות יכולות להיות לחידה ספציפית זו? או במילים אחרות, כמה קבוצות ניתן להרכיב מהמספרים a, b, c, d  כך שהמספרים ההופכיים שלהם יסתכמו ליחידה שלמה: 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1?

ממבט ראשון נראה שזו בעיה שפתרונה עשוי להיות שאפתני מדיי, כיוון שמספר הקבוצות האלה עשוי להיות רב מאוד. האמנם?

 

כדי שלא נגשש באפלה, נסדר את השברים כך ש-1/a>1/b>1/c. השבר 1/dאינו שייך ליורשים אלא לקאדי. הוא יכול להיות שווה לשבר הקטן 1/cורק לו. הוא משלים את כל השברים ליחידה אחת, לכן אנו נשתמש בו לנוחות החישובים.

 

לאחר שעשינו זאת, נבחן מה הן אפשרויות ההצבה של מספרים במקום האותיות. נתחיל ב 1/a-. המספר הקטן ביותר שאפשר להציב במקום aהוא 2. למרבית ההפתעה, 2 הוא גם המספר הגדול ביותר שאפשר להציבו. אילו הצבנו את המספר 3 היינו מקבלים 1/3 במקום השבר הגדול במשוואה, ושאר השברים כולם צריכים להסתכם ב-2/3. השברים הבאים בחשבון בסדרה יהיו  1/5, 1/5, 1/4 (ראה פסקה קודמת). שלושת השברים האלה מסתכמים          ב- 13/20=39/60, שהם פחות מ-2/3. שברים אחרים שנבחר יסתכמו אפילו בפחות מכך. על כן המסקנה היא ש-aחייב להיות 2 ורק 2.

 

מה עם b? הוא לא יכול להיות גדול יותר מ-4, אלא אם כן נשנה את האפיון הראשון של החידה, דהיינו שהשברים חייבים להיות שונים זה מזה וכל אחד מהבנים יקבל מספר גמלים שונה מאחיו. אם, למשל, bיהיה שווה ל-5, כי אז תהיה החלוקה 1=1/2+1/5+1/5+1/10 – והחידה תהיה לחלק 9 גמלים כך שהבכור יקבל 5 גמלים וכל אחד משני הבנים האחרים יקבל 2 גמלים – סך הכול 9 גמלים. הקאדי יוסיף גמל משלו ויקבל אותו בחזרה. אותו המצב יהיה אם נבחר 6 במקום b, אבל לבד מהעובדה שהשברים לא יהיו שונים זה מזה, יצטרך הקאדי להוסיף 2 גמלים ולקבלם חזרה, וזו תהיה הפרה נוספת לתנאי החידה: 1=1/6+1/6+1/6+ 1/2. 10 גמלים שיתחלקו כך: 6+2+2 והקאדי יצטרך להוסיף 2 גמלים ולקבלם חזרה. הקוראים מוזמנים לנסות ולבחור מספרים גדולים מ-6 ויבדקו אם בכל זאת ניתן לקיים את תנאי החידה.

 

נותרנו עם האפשרות ש-bיהיה 3 או 4. אם נבחר ב-3, אזי תישאר 1/6 עבור cו-dביחד: 1/6=(1/2+1/3)-1, שאפשר לחלקם ל- 1/12+1/12. אחד משני השברים האלה הוא חלקו של הבן הצעיר בירושה, והשני הוא הגמל שהקאדי מוסיף ומקבל בחזרה. במקרה זה החידה תהיה לחלק 11 גמלים כך שהבכור יקבל חצי (6), הבינוני שליש (4) והצעיר  1/12 (1) – סך הכול 11.

אפשרויות נוספות לחלק את ה-1/6 הן: 1/42+1/7 או 1/24+1/8 או 1/18+1/9.

 

                    אם נבחר ש-bיהיה 4, אזי יישאר ל-cול-dביחד 1/4= (1/4 +1/2) -1, שיכול           

                    להתחלק ל-1/20+1/5 או ל-1/12+1/6 או ל-1/8+1/8.

 

 לסיכום, קיימות בסך הכל 7 וריאציות לחידה ואלו הן:

 

מס' הגמלים     הבכור           האמצעי              הצעיר

 

41                      1/2 (21)         1/3 (14)               1/7 (6)

23                      1/2 (12)         1/3 (8)                 1/8 (3)

17                      1/2 (9)           1/3 (6)                 1/9 (2)

11                      1/2 (6)           1/3 (4)                 1/12 (1)

19                      1/2 (10)         1/4 (5)                 1/5 (4)

11                      1/2 (6)           1/4 (3)                 1/6 (2)

7                        1/2 (4)           1/4 (2)                 1/8 (1)

 

 

 

 

 

                                                     .

אין לקדם פוסט זה

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל ExcelMath91 אלא אם צויין אחרת