00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

אי רציונלי

על הוכחה והגדרה, ועל הגדרה של הוכחה

הערך "הוכחה" בויקיפדיה העברית.

נכנסתי לערך סתם ככה. אני לא יודעת למה. הרי אין מלא בטעויות כויקיפדיה, ואין מסתמכים על ויקיפדיה כמקור לידע. אבל לפעמים, כשאין מה לכתוב, וכשרוצים להניע תהליך חשיבה טוב גם להתחיל מ"מה לא", או מחיפוש שגיאות, ניסוחן מחדש ותיקונן.

(למה אני לא עורכת את הערך? כי אני לא ויקפדיסטית. לא מיומנת בכלי, לא מעוניינת כרגע להיות מיומנת בו, ולא רוצה להסתבך. בבלוג זה הרבה יותר פשוט. גם הרבה יותר פרטי, כי ממילא אף אחד כמעט לא קורא פה. נחזור לעניינים).

כבר מהמשפט הראשון הצלחתי להתעצבן:

"במתמטיקה ובלוגיקה הוכחה היא סדרה (בדרך כלל סופית) של אקסיומות וכללי היסק, המראה שטענה מסוימת נכונה."

נכון, אבל רק כמעט. כי האקסיומות לא קשורות להוכחה עצמה. על פי המבנה הקלאסי, הרווח כבר מימי אוקלידס, האקסיומות הן שלד התיאוריה המתמטית. משתמשים בהן בהוכחה. אבל משתמשים בהוכחה גם בהגדרות, וגם ביידע קודם, שרובו משפטים שהוכחו בעבר, ובכל זאת ההגדרות והמשפטים הידועים אינם נקראים חלק מההוכחה. בעצם גם כללי ההיסק הם רק הכלי שבו משתמשים, ולא ההוכחה עצמה.

הווי אומר:

הוכחה היא סדרה סופית של טענות הנובעות זו מזו בעזרת כללי היסק, תוך שימוש בהגדרות, באקסיומות, ובידע קודם, שהוכח קודם לכן, המראה שטענה מתמטית מסוימת היא נכונה.

המשפט הבא: "הפרכה של טענה נקראת גם היא הוכחה", הוא נכון מאוד. בעצם כאשר ישנה השערה מתמטית ישנן שתי דרכים קיימות. אחת היא להוכיח אותה, השניה היא להפריך (יש אפשרות שלישית, לפיה טענה תהיה "לא כריעה" - כלומר שלא ניתן להוכיח אותה על אף נכונותה. זה  דיון עמוק מאוד במתמטיקה הגבוהה). כלומר טענה יכולה להיות נכונה או שגויה. אם הפרכנו, כלומר הראינו שהיא שגויה, בעצם הוכחנו את הטענה ההפוכה לה.
 

יש סיסמה רווחת בקרב מורים ותלמידים במתמטיקה לפיה "דוגמה אחת יכולה להפריך, לא להוכיח". זה לא ממש מדויק. מה שמדויק הוא שאם הטענה היא טענת "לכל" (למשל: כל מספר שמתחלק ב-3 מתחלק גם ב-6") אז הטענה ההפוכה לה היא טענת "קיים" ("קיים מספר שמתחלק ב-3 ולא מתחלק ב-6"), ולצורך הוכחת טענה מסוג "קיים" מספיק להביא דוגמה אחת שמתקיימת. דיון מאוד יפה בטענות מהסוגים הללו, בהוכחות שלהם, בהוכחות שגויות שלהם, ובשיפוט של מורים בין הסוגים השונים של הטיעונים, נמצא במאמרים של דינה תירוש ופסיה צמיר שאולי עוד אביא לכאן לבלוג.


בהמשך נאמר "הוכחה היא מרכז עולמה של המתמטיקה", וזה בהחלט נכון. כבר כתבתי את זה באחת הרשומות הקודמת. אלא שהציטוט שנבחר "מתמטיקאי הוא מכונה שהופכת קפה למשפטים", הוא יותר קוריוז ולא מהווה התייחסות רצינית למרכזיות ההוכחה בעיסוק המתמטי.

במעבר לשפה האנגלית מתקבלת הגדרה מדוייקת יותר, ומעשירה יותר:

In mathematics, a proof is a convincing demonstration (within the accepted standards of the field) that some mathematical statement is necessarily true. Proofs are obtained from deductive reasoning, rather than from inductive or empirical arguments. That is, a proof must demonstrate that a statement is true in all cases, without a single exception

במתמטיקה הוכחה היא הדגמה משכנעת (בתוך סטנדרטים מקובלים בשדה) שטענה מתמטית כלשהי היא בהכרח נכונה. הוכחות מתקבלות מתוך הסקה דדוקטיבית ולא מטיעונים אינדוקטיביים או אימפיריים. כלומר הוכחה צריכה להדגים  שהטענה נכונה בכל המקרים, בלי אף יוצא מן הכלל.

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל נצחיהTT אלא אם צויין אחרת