00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

{ [ ( בניית עזר ) ] } - מתמטיקה, תכנות, סיכומים לבחינות הבגרות ואקסל

<<<<
 
   מתמטיקה 
   ונושאים 
   נוספים 
 
משפטים, נוסחאות ומתמטיקאים על ציר הזמן  תורת המספרים  תכנות C++/C  קומבינטוריקה  מתמטיקה/EXCEL  אסטרונומיה

משפטים בגאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה - הדגמה ויזואלית ופתרונות לשאלות מהבגרות ומספרי הלימוד 
 
  אהרן מוריאלי  תורת המספריםסקירות מתמטיות-היסטוריות ספרים ריבועי קסם  הקסם שבמספרים מיהו מי-חידות היגיון רשימה
   המשפט האחרון של פרמה מספרי קרמייקל מספרים משוכללים מספרים ראשוניים פרפראות מתמטיות המספר ומחלקיו
   
מספרי מרסן   פעילויות בלוח הכפל  
  ערבית   לוחות פעלים במערכת הפעל הערבי, תחביר ודקדוק       -     טבלת אותיות וניקוד בערבית 
  סרגלי הפועל והתחביר הערבי - רות בן-אבי   -     חלוקה לוגית של האותיות בערבית - ניצה בינדר
  מאגר מת"ל-
  חומרי למידה
  אסטרטגיות למידה/הוראה/חשיבה/קריאה/אוריינות ---מדע וטכנולוגיה מתמטיקה פיזיקה כימיה גנטיקה     
  היסטוריה וציונות  יהדות  תנ"ך גאוגרפיה ---אזרחות ספרות---לשון   ערבית   אנגלית      
שכיחות אותיות בשפה העבריתפרדוקסים סמנטיים ולוגיים

המספר ומחלקיו - פרק מתוך הספר "הקסם שבמספרים" מאת אהרן מוריאלי

 המאמר הנוכחי הוא פרק מתוך ספרו של אהרן מוריאלי,
"הקסם שבמספרים", העתיד לצאת במהדורה מחודשת.

רב תודות לאהרן מוריאלי על הסכמתו לפרסום הפרק.

המאמר עוסק במספר המחלקים של מספר טבעי נתון תוך
סקירת מאפייניהם של סוגי המספרים הבאים:
מספרים עודפים, מספרים חסרים, מספרים משוכללים (מספרים
מושלמים), מספרים כמעט משוכללים, מספרים משוכללים למחצה,
מספרים מולטי-משוכללים, מספרים חברותיים ומספרים רעים
(מספרים ידידים או מספרים נאהבים).

 

 

 

 

 

המאמר כקובץ טקסט (יש להסתמך רק על קבצי התמונה
                             המצורפים למעלה).

       המספר ומחלקיו                                                                                                                                                                                                                          
מחלקיו של מספר נתון הם כל המספרים אשר מספר זה יכול להתחלק בהם (ללא שארית). כך, המחלקים של המספר 12 הם:
 1, 2, 3, 4, 6 ו-12, והמחלקים של המספר 7 הם 1 ו-7.
לכל מספר טבעי הגדול מ-1 יש לפחות שני מחלקים, אולם לרוב המספרים יש יותר משני מחלקים. מספר המחלקים של מספר
 יכול להעמיד אותנו על כמה תכונות שלו, כפי שיבואר להלן.
לפעמים לוקחים בחשבון מספר המחלקים את המספר עצמו ואז מדברים על מספר מחלקים מלא, proper divisors.
 לפעמים מתעלמים מהמספר עצמו ואז מדברים על מספר מחלקים חסר aliquot parts. במרבית המקרים, כשמדברים
על מספר המחלקים של מספר מתכוונים למספר מחלקים חסר, גם אם לא מציינים זאת במפורש. גם אנו ננהג כך, אלא אם נציין
במיוחד שמדובר במספר מחלקים מלא.
המתמטיקאי היווני ניקומכוס (60?-100?) מגֶרֶש (בעבר הירדן) בספרו מבוא לאריתטיקה חילק את כל המספרים הטבעיים
לשלוש קטגוריות באשר לסכום המחלקים שלהם:
    מספרים עודפים :abundant אלה הם המספרים שסכום מחלקיהם (חוץ מהמספר עצמו) גדול מהמספר עצמו.
 בתחום המאה הראשונה יש 22 מספרים עודפים והם: 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48,
 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96 ו-100. הקורא אולי הבחין
בעובדה שכל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, אבל אין להסיק מכך שכל המספרים העודפים הם מספרים זוגיים. גם אין
להסיק מכך שכל המספרים הזוגיים הם מספרים עודפים. על כך יעיד חסרונם של כמה מספרים זוגיים בתחום המאה מהרשימה הנ"ל.
 עם זאת ניתן לומר שמספרם של המספרים העודפים האי-זוגיים קטן יותר מהזוגיים. בתחום המאה הראשונה אין מספר אי-זוגי
 שהוא עודף. המספר האי-זוגי העודף הקטן ביותר הוא 945.
המתמטיקאי הצרפתי מרק דלגליז הראה בשנת 1998 שהמספרים העודפים מהווים רבע מהמספרים הטבעיים בקירוב.
נציין שכל הכפולות של מספר עודף או של מספר משוכלל (ראה להלן) הם מספרים עודפים.
    מספרים חסרים deficient : אלה הם המספרים שסכום מחלקיהם (חוץ מהמספר עצמו) קטן מהמספר עצמו.
 בתחום המאה הראשונה כל שאר המספרים שלא נמנו עם הרשימה הקודמת, (חוץ מהמספרים 6 ו-28),  הם מספרים חסרים.
    מספרים משוכללים perfect: אלה הם המספרים שסכום מחלקיהם שווה בדיוק למספר עצמו. בתחום המאה
הראשונה יש רק שני מספרים משוכללים והם 6 ו-28. למספרים המשוכללים הקדשנו פרק מיוחד בספר זה.
       על המיון  הבסיסי הזה נוסיף את הקטגוריות הבאות:
    מספרים כמעט-משוכללים almost perfect: אלה הם מספרים שסכום מחלקיהם קטן ב-1 מהמספר עצמו.
 למשל המספר 8. מחלקיו הם 1,2,4=7. כל המספרים שהם חזקות של 2 (בעלי הצורה n2)  הם מסוג זה.
 לא ידוע על מספרים כאלה שיש להם צורות אחרות. בייחוד לא ידוע אם יש מספרים אי-זוגיים כאלה. לעומת המספרים
הכמעט-משוכללים, לא ידוע לנו אם יש מספרים שסכום מחלקיהם גדול ב-1 מהמספר המקורי.
    מספרים משוכללים-למחצה Semiperfect/pseudoperfect: אלה הם המספרים שסכום
כל מחלקיהם או רק חלקם שווים למספר עצמו. יוצא מהגדרה זו שהם או מספרים עודפים או מספרים משוכללים.
 יש המתנגדים להגדרה זו ולא כוללים את המספרים המשוכללים בתוכם.
חמשת המספרים המשוכללים-למחצה הראשונים הם: 6, 12, 18, 20, 24,...
סכום מחלקיו של המספר 6=1+2+3 (מספר משוכלל).
סכום מחלקיו של המספר 12 הוא: 1+2+3+4+6=16 (מספר עודף), אבל סכום חלק ממחלקיו הוא 12 (1+2+3+6).
 כן הדבר לגבי המספר 18 שמחלקיו מסתכמים ב-21=1+2+3+6+9, אבל סכום חלק ממחלקיו הוא 18 (1+2+6+9).
המספר המשוכלל-למחצה הקטן ביותר הוא המספר 945 שהזכרנו לעיל. אחריו בא המספר 1575. גם כפולותיהם של מספרים
 אלה הן משוכללים-למחצה.
מספרים עודפים שאינם מספרים משוכללים-למחצה נקראים בשם "המשונה" מספרים משונים weird . פירושו של דבר
שמבין מחלקיהם לא תימצא תת-קבוצה של גורמים שסכומה יהיה המספר עצמו. המספר המשונה הקטן ביותר הוא 70.
סכום מחלקיו של מספר זה הוא 1+2+5+7+10+14+35=74, אבל בניגוד למספר 18, למשל, שום צירוף
של חלק ממחלקיו לא מסתכם ב-70.
המספרים המשונים הם מספרים נדירים. בתוך הרבבה הראשונה ישנם רק 7 מספרים כאלה והם: 70, 836, 4030
, 5830, 7192, 7912,  ו-9272.
לא ידוע לנו אם קיים מספר משונה אי-זוגי.
    מספרים מולטי-משוכללים multiperfect או pluperfect: אלה הם המספרים שסכום מחלקיהם
 הוא כפולה שלמה של המספר עצמו (לא כולל המספר עצמו). למשל, סכום המחלקים של המספר 120 הוא
: 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60=240=120*2. זו הייתה תגליתו של
המתמטיקאי הצרפתי מרן מרסן – אליו נתוודע בפרק על "מספרי מרסן".
במכתב שכתב מרסן לדקרט בשנת 1631, הוא שאל אותו אם יוכל למצוא מספרים נוספים כאלה. שאלה זו העסיקה רבות
 את דקרט, ורק כעבור שבע שנים הוא סיפק בסדרה של מכתבים למרסן רשימה של מספרים כאלה. בינתיים גם פרמה עסק בסוגייה,
 והוא גילה בשנת 1637 את המספר 672, שמספר מחלקיו הוא 1344=672*2. בין רשימת המספרים שסיפק דקרט היה
 המספר 30240 שסכום מחלקיו גדול פי 3 מהמספר עצמו ועוד מספר עצום
בגודלו שסכום מחלקיו גדול פי 4 מהמספר.
כל המספרים האלה הם מספרים זוגיים, כשם שכל המספרים המשוכללים הם מספרים זוגיים. נכון לשנת 2004 ידועים אלפים
אחדים של מספרים כאלה שסכום מחלקיהם כפול פי 2 עד פי 11 מהמספר עצמו.
מספר המחלקים
שאלה מעניינת היא: האם נוכל לדעת מהו מספר המחלקים המלא של מספר מסוים מבלי שנצטרך לפרטם אחד לאחד?
כדי לענות על שאלה זו, ננקוט תחילה בדרך ניסיונית-אינדוקטיבית ואחר כך ננסה להסיק את הכלל על פי הממצאים.
 נניח שהיינו בודקים את מספר המחלקים המלא של כל אחד מהמספרים 1 עד 100, ואחר כך ממיינים אותם לפי קריטריון זה,
 כי אז היינו מקבלים את הטבלה הבאה:
המספרים 100-1 ממוינים לפי מספר מחלקיהם
1 (p0)  - 1

2 (p1) – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
3 (p2) – 4, 9, 25, 49
4 (p3; pn) – 6, 8, 10,
 14, 15, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57,                 
     58, 62, 65, 69, 74, 77, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95
5 (p4) – 16, 81
6 (p5 ; p2n) – 12,
 18, 20, 28, 32, 44, 45, 50, 52, 63, 68, 75, 76, 92, 98, 99
7 (p6) – 64
8 (p3n; pnm) – 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66, 70, 78, 88
9 (p2n2) – 36, 100
10 (p4n) – 48, 80
12 (p5n; p3n2; p2nm) – 60, 72, 84, 90, 96
המספר המעובה בראש השורה מצביע על מספר המחלקים המלא של המספרים בכל קטגוריה, והאותיות בתוך הסוגריים מצביעות

 על הצורה הכללית של המספרים באותה שורה, כאשר p, n ו-m הם מספרים ראשוניים שונים.
אף כי מדַברת הטבלה בעד עצמה, נעיר בכל זאת כמה הערות על כמה פרטים בה:
    בשורה השנייה רשומים כל המספרים שיש להם אך ורק שני מחלקים. אלה הם 25 המספרים הראשוניים
שבתחום המאה הראשונה.
    בשורה השלישית יש 4 מספרים שלכל אחד מהם יש 3 מחלקים. אלה הם מספרים ריבועיים. בשורה זו
מופיעים המספרים הריבועיים של מספרים ראשוניים, להם יש תמיד 3 מחלקים. לא כן מספרים ריבועיים פריקים שיש
להם יותר משלושה מחלקים, אבל לעולם מספר אי-זוגי של מחלקים. כך הם המספרים (בסוגריים מספר המחלקים):
 16(5), 36(9), 64(7), 81(5), 100(9). בטבלה הם מופיעים כמספרים מקווקווים.
    תת-קטגוריה של המספרים הריבועיים הם המספרים הראשוניים שהועלו בחזקה 4: 16 (24)  
ו-81 (34).. לאלה יש תמיד 5 מחלקים. הם מופיעים בשורה החמישית. מספר נוסף כזה הוא 625 (54).
    למספרים ראשוניים בחזקה שלישית יש לעולם 4 מחלקים. אלה הם המספרים 8 (23) ו-27 (33).
 הם מופיעים בשורה הרביעית, מודגשים ונטויים. מספרים נוספים כאלה: 125 (53), 343 (73)
ו-1331 (113).
    שאר המספרים בשורה הרביעית הם מספרים פריקים שהם מכפלה של שני גורמים ראשוניים. גם להם
לעולם יהיו 4 מחלקים. מספרים נוספים כאלה הם: 115 (23*5), 119 (17*7), 133
(19*7), 145 (29*5) ועוד.
למספרים שהם מכפלה של מספרים ראשוניים, שונים או זהים (שורה 3),
קוראים מספרים ראשוניים למחצה. נדון בהם בפרק המיוחד שהקדשנו
למספרים הראשוניים.

    מספרים ראשוניים בחזקה 6 יהיו להם לעולם 7 מחלקים. בתחום המאה יש רק מספר אחד כזה והוא 64‏
 (26). ראוי לשים לב שמספר זה הוא בעת ובעונה אחת גם מספר ריבועי וגם מספר מעוקב 64=82=43.
    למספרים שיש להם 8 מחלקים יכולות להיות 3 צורות שונות: א) הצורה (pnm) - מכפלה
של 3 מספרים ראשוניים: 30 (5*3*2), 42 (7*3*2), 66, 70, 78, 102,
 105, 110 ... ב) הצורה (p3n): 24 (3*23), 40 (5*23), 54 ו-56            ג)
 הצורה (p7) שמדגים אותה המספר 128 (27), למשל. מספר זה אינו מופיע בטבלה, כי הוא חורג
מגבול ה-100.
    מספרים שיש להם 9 מחלקים הם מכפלה של שני מספרים ראשוניים שכל אחד מהם מועלה בחזקה שנייה.
 צורתם תהיה אפוא p2n2 ומדגימים אותם בטבלה המספרים 36 ו-100. מספרים כאלה שחורגים מתחום הטבלה
הם המספרים הראשוניים המועלים בחזקה שמינית, למשל המספר 256 (28).       
    אנו רואים שבטבלה חסרה השורה ה-11. זה אומר שבתחום המאה אין מספר שיש לו 11 מחלקים.
 מחוץ לטבלה יש מספר אינסופי של מספרים כאלה. אחד מהם יכול להיות 1024 (210).
    שורה 12 כוללת 3 צורות של מספרים: א) הצורה (p2nm) שאותה מדגים המספר 60,
 שגורמיו הם 3*5*22 ומחלקיו הם: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
 30 ו-60 – ס"ה 12 מחלקים. ב) הצורה (p3n2) שאותה מדגים המספר 72 (32*23),
שגם לו יש 12 מחלקים. ג) הצורה (p5n) שאותה מדגים המספר 96 (3*25), שגם לו יש 12 מחלקים.
צורתם של המספרים 84 ו-90 כצורתו של המספר 60.
אחרי הערות אלה נגיע לשלב ההכללות: אנו מבחינים שבשורות 1, 2, 3, 5 ו-7 מספר המחלקים שווה לחזקה +1.
 בשאר השורות אנו רואים שמספר המחלקים שווה למכפלת החזקות של הגורמים הראשוניים המרכיבים את המספר -
לאחר שהוספנו 1 לכל חזקה.  בשורה השמינית, למשל, מספר המחלקים הוא (3+1) (1+1)=8 או
(1+1) (1+1) (1+1)=8. דוגמה נוספת: למספר 666=371*32*21 יש (1+1)*(2+1)
*(1+1)=12 מחלקים והם: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 37, 74, 111, 222, 333      ו-666.
זה מוביל אותנו לנוסחה הכללית: מספר המחלקים של מספר הוא מכפלה        של מעריכי החזקות של גורמיו הראשוניים
לאחר שהוספנו 1 לכל חזקה.       בניסוח אחר: מספר N שצורתו הכללית, למשל, היא P2m * P1n,
מספר מחלקיו יהיה (m+1)*(n+1), כאשר P1 ו-P2 הם הגורמים הראשוניים השונים של אותו מספר.
הנוסחה כמובן תקפה כאשר יש למספר יותר משני   גורמים ראשוניים:  P1, P2, P3, P4 …..
מספר המורכב ממספר ראשוני אחד המועלה בחזקה, מוסיפים פשוט 1 לחזקה ומקבלים את מספר מחלקיו.
   
מכאן, לשאלה ההפוכה המתבקשת: מהו המספר, אם אנו יודעים שיש לו 14 מחלקים, למשל? כדי לפתור
 בעיה זו עלינו ללכת בדרך הפוכה מזו שבה הלכנו בבואנו לפתור את השאלה הקודמת. נשקול את צעדינו, למשל,
 בדרך זו: המספר 14 הוא המכפלה של מעריכי החזקות של הגורמים הראשוניים שלהם מתפרק המספר וזה לאחר
שהוספנו 1 לכל חזקה. הגורמים של מספר זה יכולים להיות 2  ו-7, ומכל אחד משני המעריכים האלה נפחית 1 ונקבל 1 ו-6,
 שיהיו מעריכי החזקות של מספרים ראשוניים ככל שנבחר. המספר יכול להיות, למשל, 320=51*26 או 5
,103=71*36, או כל מספר אחר שצורתו תהיה p6q, כאשר p ו-q הם הגורמים הראשוניים שלו. אבל
 הגורמים של 14 יכולים להיות גם 1 ו-14 ואז צורתו הכללית של המספר תהיהp13*q0   ואחד המספרים בעלי
צורה זו יכול להיות 8192=213. המסקנה מכל הדיון הזה היא שאין תשובה חד-משמעית לשאלה שהעמדנו,
ולמעשה יש אינסוף מספרים היכולים לענות נכונה על שאלה זו. אם כן, ראוי לנסח את השאלה כך: מהו המספר
הקטן ביותר שיש לו 14 מחלקים? לכאורה, התשובה לא מסובכת כלל: בהנחה שבחרנו את הגורמים 2 ו-7
למספר 14, נציב בצורה הכללית p6q את המספר הראשוני הקטן ביותר במקום p, שהוא בעל החזקה הגדולה
 מבין השניים, וזה המספר 2, ובמקום q נציב את המספר הראשוני הבא, שהוא 3. במקרה שלנו התשובה תהיה 192=31*26.
כעת נראה לנו שעלינו על דרך המלך ועלינו על הפתרון הסביר והנכון לגבי המספר 14. אולם פתרון זה, שמסתמך
 על שני ניסיונות ובחירת הפתרון המתאים ביותר מביניהם, יהיה מסובך יותר אם אפשרויות הבחירה גדולות יותר.
ננסה לפתור, למשל, את השאלה הבאה:  מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 12 מחלקים? המספר 12
מתפרק ל-6*2, ולכן מעריכי החזקות יהיו 1 ו-5, והמספר יהיה 3*25 =96. אבל 12 מתפרק גם 4*3,
 ולכן מעריכי החזקות יהיו 2 ו-3, והמספר יהיה 32*23=72. אבל אנו יודעים כבר מהטבלה שהמספר 60
הוא המספר הקטן ביותר שיש לו 12 מחלקים. ובכן, כיצד נגיע לתשובה האחת והיחידה לשאלה זו? התשובה היא
 שיש לפרק את המספר 12 לגורמיו הראשוניים ולרשום כל גורם בנפרד: 3*2*2. המעריכים יהיו, אפוא,
 1, 1, 2  והמספר יהיה 60=51*31*22.
יש בידינו, לכאורה, אלגוריתם חד-משמעי לבעיה זו, האומר: פָרק את מספר המחלקים לגורמיו הראשוניים ורשום
כל גורם בנפרד, חסר 1 מכל גורם, והמספרים שיתקבלו ישמשו כמעריכי החזקות של המספרים הראשוניים של המספר
המבוקש לפי הסדר החל במספר הראשוני הקטן ביותר: 2 ,3 , 5, 7 וכן הלאה – כפי שהודגם על המספר 60.
ניסוח זה של האלגוריתם נראה הגיוני ומשכנע, והוא יכול לענות על השאלה: מהו המספר הקטן ביותר שיש לו 100
מחלקים, למשל? נפרק את המספר 100 לגורמיו הראשוניים שהם: 5*5*2*2=100. נחסר 1 מכל אחד
מגורמים אלה כדי שישמשו מעריכים למספרים הראשוניים לפי הסדר החל במספר 2, נעלה מספר זה בחזקה 4,
 אחריו נעלה גם מספר 3 בחזקה 4, ואחריהם נעלה את המספרים 5 ו-7 כל אחד בחזקה 1 ונקבל את המספר 45,
360=71*51*34*24, שהוא המספר המבוקש שיש לו 100 מחלקים. אפשרות זו תואמת את האלגוריתם
שניסחנו לעיל.
אבל מסתבר שהעניין אינו פשוט כפי שהוא נראה! ננסה, למשל, לענות על השאלה הבאה: מהו המספר הקטן
ביותר שיש לו 96 מחלקים? נפרק את המספר 96 לפי האלגוריתם שהצענו ונקבל 96=2*2*2*2*2*3.
והמספר שנקבל יהיה 60,060=131*111*71*51*31*22. והנה למרבית ההפתעה דווקא המספר 27,720
=11*7*5*32*23 הוא התשובה הנכונה במקרה זה. תשובה זו נשענת על פירוק המספר 96 דווקא ל-2*2*2*3*4.
מסקנה: לא אלגוריתם חד-משמעי יש לנו, אלא כיוון כללי שמצמצם אפשרויות, אבל מחייב בדיקות והשוואות!
סכום המחלקים
הנוסחה למציאת סכום המחלקים של מספר היא מסובכת יותר. נדגים אותה בשאלה: מהו סכום המחלקים המלא של
 המספר 360, למשל? כדי לענות על שאלה זו נצטרך לנקוט בצעדים הבאים:
1)    נפרק את המספר לגורמיו הראשוניים: 23*32*51=360
2)    אם החזקה של אחד הגורמים היא 1, נוסף את ה-1 לגורם: 5+1=6
3)    אם החזקה של הגורם יותר מ-1 נשתמש בנוסחה הבאה:
4)    (pe+1-1)/n-1, כאשר p הוא אחד הגורמים הראשוניים של המספר ו-e היא החזקה שלו.
 במקר שלנו:    (23+1-1)/2-1=15     ו- (32+1-1)/3-1=13
       5)  נכפיל את התוצאות ונקבל: 6*13*15=1170
ואכן סכום מחלקיו של המספר 360 הוא:     1+2+3+4+5+6+8+9+10+12+15
+18+20+24+30+36+40+45+60+72+90+ 120+180+360=1,170.
דוגמה שנייה. כדי למצוא את סכום המחלקים של המספר 45 נפרק אותו לגורמים ונקבל: 32*51=45.
נחשב את כל הצעדים ונציג אותם בביטוי אחד:
[(32+1-1)/3-1]*(5+1) =13*6= 78. ואכן סכום המחלקים של 45 הוא
45+15+9+5+3+1= 78
הבעיה של סכום המחלקים של מספר הציבה כמה אתגרים בפני מתמטיקאים שחייבו אותם לחפש להם פתרונות.
 אחד האתגרים הוא למצוא מספרים שסכום מחלקיהם המלא (כולל המספר עצמו) הוא מספר ריבועי.
 המספר הקטן ביותר שעונה לאתגר זה הוא 3, שמחלקיו הם 22=3+1. מספר אחר הוא 22,
שסכום מחלקיו הוא 62=36=22+11+2+1. מספרים נוספים הם: 66 שסכום מחלקיו הוא 122
=144; 70 שסכום מחלקיו גם הם 122=144 או 81 שסכום מחלקיו הוא 112=121.
ויש עוד הרבה מספרים כאלה.
אתגר נוסף הוא למצוא מספר ריבועי שסכום מחלקיו (כולל המספר עצמו) הוא מספר ריבועי. המספר
81 שהזכרנו אותו הוא מספר כזה. מספר נוסף הוא 202=400 שסכום מחלקיו הוא 312=961.
אתגר דומה הוא למצוא מספר ריבועי שסכום מחלקיו (להוציא המספר עצמו) הוא מספר ריבועי.
 9 הוא מספר ריבועי כזה שסכום מחלקיו הוא 22=3+1. גם סכום המחלקים של המספר 492=2401
 הוא 1+7+49+343 = ‏202=400.
עוד שאלה שהציע אותה המתמטיקאי הצרפתי הנודע פרמה: איזה מספר מעוקב שסכום מחלקיו הוא מספר ריבועי.
 התשובה היא המספר 73=343, שסכום מחלקיו (כולל המספר עצמו) הוא 202=400. ישנם עוד
 מספרים כאלה, אבל הם כל כך גדולים שקשה לחשב את מחלקיהם בדרך רגילה ונוחה, ולכן לא מצאנו טעם להציגם כאן.
מתמטיקאים התחרו אלה באלה בהצבת אתגרים שונים ומשונים. לעתים הודות לתחרות זו נתגלו התגליות הפוריות ביותר במתמטיקה!
מכפלת המחלקים
כדי למצוא את המכפלה של המחלקים של מספר כלשהו N עלינו להעלות את המספר בחזקת מספר המחלקים המלא
שלו p ולמצוא את השורש הריבועי של כל הסכום. הנוסחה היא אפוא √Np. לדוגמה: למספר 12 יש 6
 מחלקים ומכפלתם שווה ל- 126√=123=1728.
אם המספר הוא ריבועי מספר המחלקים שלו הוא אי-זוגי, אבל הנוסחה תתאים גם לו, כי קל מאוד למצוא שורש
של מספר ריבועי. לדוגמה, למספר 16 יש 5 מחלקים: 1, 2, 4, 8, 16 והמכפלה שלהם היא 16545
= √=1024  .
ברור שמכפלת המחלקים של מספר ראשוני היא המספר עצמו, וגם זה תואם את הנוסחה.
ישנם מספרים שמכפלת המחלקים שלהם נותנת את המספר עצמו בחזקה כלשהי.
מספר כזה הוא 12 שמכפלת מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) היא חזקה שנייה של המספר עצמו:
144=122=6*4*3*2*1 וכן המספר 20 שמכפלת מחלקיו היא 400=202=10*5*4*2*1.
 מספר נוסף כזה הוא המספר 45. מכפלת מחלקיו של המספר 24 היא חזקה שלישית של המספר עצמו:
13,824=243=12*8*6*4*3*2*1. מספר דומה הוא המספר 40 שמכפלת מחלקיו היא 64,000=403.
 מכפלת מחלקיו של המספר 48 היא חזקה רביעית של המספר עצמו: 5,308,416=484=24*
16*12*8*6*4*3*2*1. מספר דומה הוא המספר 80, שמכפלת מחלקיו היא 804.
השרשרת של מחלקי המספרים Aliquot Sequance
נבחר מספר כלשהו, נחשב את סכום מחלקיו (לא כולל המספר עצמו) ונקבל מספר שני. במספר השני
ננהג באותה דרך שנהגנו בה במספר הראשון ונקבל מספר שלישי, וכן הלאה. פעולות אלה יוצרות שרשרת
של מספרים שמסתיימת באחת מהאפשרויות הבאות:
1)    השרשרת תסתיים אחרי צעד אחד בלבד, או אם תרצו היא לא תסתיים לעולם, והמספר
 יחזור על עצמו. ברור שהמספר שבחרנו בו להתחיל את
השרשרת הוא מספר משוכלל:

השרשרת הוא מספר משוכלל:
n        המחלקים        סכום המחלקים
6        1, 2, 3            6
2)    השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי שני צעדים או יותר למספר משוכלל (המספר האחרון
למעשה יחזור על עצמו):
n        המחלקים        סכום המחלקים
25        1, 5            6
6        1,2,3            6
3)    השרשרת תסתיים בשני צעדים כאשר רואים שבצעד השני סכום המחלקים של המספר
הוא המספר שבו התחלנו את השרשרת:
n        המחלקים        סכום המחלקים
       220        1, 2, 4, 5, 10, 11, 20,
                           22, 14, 55, 110       284

      284        1, 2, 4, 71, 142    
    220
      לזוג מספרים כזה קוראים מספרים רֵעים. אנו נקדיש להם חלק נפרד בפרק
      נפרד.
4)    השרשרת תסתיים במספר 1, כאשר המספר הוא מספר ראשוני, או כאשר בצעד
 לפני האחרון סכום המחלקים הוא מספר ראשוני:
n        המחלקים        סכום המחלקים
       12        1, 2, 3, 4, 6            
16
       16        1, 2, 4, 8        
    15
       15        1, 3, 5            
    9
       9        1, 3            
    4
       4        1, 2            
    3
       3        1            
    1
5)    השרשרת תסתיים כאשר נגיע אחרי כמה צעדים (יותר משניים) למספר הראשון
שהתחלנו בו:
n        מספר המחלקים        סכום המחלקים
12,496    19                14,288    
14,288    19                15,472        
15,472    9                14,536
14,536    15                14,264    
14,264    7                12,496
חזרנו למספר הראשון! זוהי שרשרת מפורסמת בת 5 חוליות, והיא השרשרת הקטנה ביותר מסוגה
במובן זה שאין שרשרת דומה שהחוליות שלה מורכבות ממספרים קטנים יותר. שרשרת אחרת היא שרשרת
המתחילה במספר 14,316 ויש בה 28 חוליות. שתי השרשרות נתגלו בשנת 1918. למספרים
המרכיבים שרשרות מסוג זה קוראים מספרים חברותיים sociable numbers.

6)    השרשרת לא תסתיים לעולם והמספרים לא יחזרו על עצמם. בגבול האלף
ישנם חמישה מספרים שמתחילים שרשרות שעדיין לא הצליחו לסיימן. המספרים הם: 276, 552
, 564, 660 ו-966. את חמשת המספרים האלה מכנים חמישיית להמר Lehmer Five
לזכרם של זוג המתמטיקאים האמריקאים דריק ואשתו אֶמה להמר.
מספרים רֵעים amicable numbers
אם סכום מחלקיו של מספר a (חוץ מהמספר עצמו) שווה למספר b, וסכום מחלקיו של מספר b שווה
למספר a - אזי שני המספרים האלה ייקראו מספרים רעים. הזוג הראשון והקטן ביותר הם המספרים
220 ו-284. מחלקיו של המספר הראשון הם: 1+2+4
+5+10+11+20+22+44+55+110=284 ומחלקיו של המספר השני הם: 1+2+4+71+142=220.
הקשר בין שני המספרים האלה היה ידוע עוד מימי פיתגורס (500 שנה לפני הספירה), ולגבי הקדמונים
 הם סימלו הרמוניה מלאה, ידידות ואהבה. נאמר מפי פיתגורס ש"ידיד הוא האני האחר של אדם בדיוק
כמו המספרים 220 ו-284".  ההיסטוריון והסוציולוג הערבי איבן ח'לדון (1332‏-1406)
כותב בספרו המפורסם אל-מוקדמה: "..נזכיר את העיסוק במלאכת עשיית הקמעות שהייתה אחראית
למודעוּת שלנו למעלותיהם של שני המספרים הרעים 220 ו-284. אמני הקמעות מדגישים שלשני
מספרים אלה יש תפקיד מיוחד בכינון יחסי שיתוף וידידות בין שני אנשים. הם משמשים להכנת הורוסקופים
עבורם ואת המספר החזק מבין שניהם חורתים על קמע ומעניקים אותו לאדם שמעוניינים לזכות בקרבתו או באהבתו.
 הקשר שעשוי להיווצר בין שני האנשים הוא אמיץ ביותר ובל יינתק. האמנים הגדולים שעסקו במלאכה זו
מאשרים מניסיונם את ההשפעה שלהם."
החידונאי בן-ימינו מרטין גרדנד (2010-1914) כותב באחד מספריו (1984): "אחוות הפיתגורים
ראתה בזוג המספרים 220 ו-284 סמל לידידות. כמה ממפרשי המקרא הבחינו שיעקב נתן לעשו 220 עזים ותיישים
, וכן 220 רחלים ואילים (בראשית לב 15), ובכך הוא הביע  את אהבתו לעשו."
במשך דורות רבים זה היה הזוג היחיד מסוגו שידעו עליו עד שגילה בשנת 1636 המתמטיקאי הצרפתי החובב פרמה
 זוג נוסף המורכב מהמספרים 17,296             ו-18,416. דקרט גילה בשנת 1638 את הזוג השלישי:
 9,437,056 ו-9,363,584 שהיה כבר ידוע למתמטיקאים הערבים לפניו. המתמטיקאי השוויצרי
אוילר חקר את הנושא בצורה שיטתית יותר ופיתח נוסחה לגילוי מספרים כאלה. בשנת 1747 הוא פרסם רשימה
של 30 זוגות וכמה שנים אחר כך הוא הרחיב את הרשימה ליותר משישים. בין הזוגות שהוא גילה היו הזוג 6
,232 ו-6,368 והזוג 10,744 ו-10,856.   כ-120 שנה אחרי אוילר, בשנת 1866,
 גילה נער איטלקי בן 16 בשם ניקולו פגניני זוג מספרים שנחשב היום לשני בגודלו, אבל משום מה פסחו עליו
מתמטיקאים שונים לפניו. זהו הזוג 1,184 ו-1,210. המספרים נתגלו כנראה בדרך הניסוי והטעייה –
 מה שמעיד אולי על הסיכוי של חובבנים למיניהם להיכתב בדפי ההיסטוריה אם יעשו מאמץ כלשהו ואם ישחק להם המזל!
רק לאחרונה מתברר שמתמטיקאים ערבים עסקו בנושא עוד מהמאה התשיעית. הזוג שגילה פרמה, למשל,
נתגלה כבר במאה ה-14 על-ידי מלומד ערבי בשם אבן אל-בנא, והזוג שגילה דקרט נתגלה כבר כמה עשרות
 שנים לפניו על-ידי מלומד ערבי אחר בשם מוחמד בכר יזדי (המאה ה-16). אבל התגלית המשמעותית ביותר
היא העובדה שמדען ערבי בשם ת'אבת אבן קורה (826-‏901) המציא נוסחה להנפקת כמה מספרים רעים –
 דווקא אותם מספרים שיוחסו לפרמה ולדקרט בגילוים במאה ה-17. האם ייתכן ששני מדענים דגולים אלה ידעו
 על קיומה של נוסחה זו? או שמה הם גילו אותה בדרך בלתי תלויה בנוסחתו של המלומד הערבי. אין לכך תשובה,
אבל ראוי שנציג להלן את הנוסחה:

נוסחה לגילוי מספרים רעים
אם n>1 והצבת ערכים שלו בשלושת הביטויים הבאים:
      9*22n-1-1=r       3*2n-1=q           p=3*2n-1-1
תתן מספרים ראשוניים: q, p ו-r אזי pq 2n  ו- r 2n הם מספרים רעים. זוהי הנוסחה של של
המדען הערבי ת'אבת בן קורה, שהוזכר בפסקה הקודמת. אוילר, כאמור, גילה נוסחה כללית יותר לנוסחה זו,
 שלא מצאנו לנכון לרשום אותה כאן.
נדגים: כאשר 2=n, אזי 5=p; 11=q ו-71=r, שהם כולם מספרים ראשוניים. נציב מספרים אלה
בנוסחה ונקבל 284=71*4  ו-220=11*5*4, שהם הזוג הראשון המוכר של מספרים רעים.
כאשר 3=n אזי 287=r, שהוא מספר לא ראשוני, ולכן אינו מתאים לנוסחה.
כאשר 4=n אזי 23=p; 47=q ו-1151=r. שלושת המספרים האלה הם מספרים ראשוניים. אם
נציב מספרים אלה בנוסחה נקבל את המספר הראשון שהוא 18,416=1151*16 והמספר השני יהיה
 17,296=47*23*16. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי פרמה.
כאשר 5=n אזי 95=q, שהוא מספר לא ראשוני, ואם נציב 6 במקום n נקבל אותה תוצאה: 95=p.
המספר הבא יהיה 7=n. במקרה זה 191=p; 383=q ו-73727=r. המספרים האלה הם מספרים
 ראשוניים, לכן המספר הראשון יהיה 9,437,056=73727*128 והשני יהיה 9
,363,584=383*191*128. זהו הזוג שנתגלה, כזכור, על-ידי דקרט.
נשים לב שבכל הדוגמאות הנ"ל קיים גורם משותף לשני המספרים, לאמור המספרים אינם זרים זה לזה.
סוף סוף הרי הם מספרים רֵעים!
זהו! כאן מסתיימות אפשרויות השימוש בנוסחה זו, כיוון שהיא כבר לא טובה לכל ערך של n שהוא קטן
מ-20,000! מכאן אנו מבינים שקיימות נוסחאות אחרות המנפיקות מספרים רעים אחרים, אבל איש
 לא מצא עדיין את הנוסחה האחת שתוכל להנפיק את כל המספרים הרעים האפשריים – כמו, למשל,
הנוסחה המנפיקה את כל המספרים המשוכללים (ראה הפרק המיוחד על מספרים אלה).
כאן המקום  לציין שמספר המספרים הרעים שנתגלו נכון ליוני 2006 עולה על 11 מיליון, והמספר גדל
מחודש לחודש. כל המספרים מתועדים ואפשר להוריד אותם מהאינטרנט.
אנו נסתפק בהצגת עשרת הזוגות של המספרים הרעים לפי גודלם, ולא לפי סדר גילויים.

 




                     

אין לקדם פוסט זה

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל ExcelMath91 אלא אם צויין אחרת