00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

{ [ ( בניית עזר ) ] } - מתמטיקה, תכנות, סיכומים לבחינות הבגרות ואקסל

<<<<
 
   מתמטיקה 
   ונושאים 
   נוספים 
 
משפטים, נוסחאות ומתמטיקאים על ציר הזמן  תורת המספרים  תכנות C++/C  קומבינטוריקה  מתמטיקה/EXCEL  אסטרונומיה

משפטים בגאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה - הדגמה ויזואלית ופתרונות לשאלות מהבגרות ומספרי הלימוד 
 
  אהרן מוריאלי  תורת המספריםסקירות מתמטיות-היסטוריות ספרים ריבועי קסם  הקסם שבמספרים מיהו מי-חידות היגיון רשימה
   המשפט האחרון של פרמה מספרי קרמייקל מספרים משוכללים מספרים ראשוניים פרפראות מתמטיות המספר ומחלקיו
   
מספרי מרסן   פעילויות בלוח הכפל  
  ערבית   לוחות פעלים במערכת הפעל הערבי, תחביר ודקדוק       -     טבלת אותיות וניקוד בערבית 
  סרגלי הפועל והתחביר הערבי - רות בן-אבי   -     חלוקה לוגית של האותיות בערבית - ניצה בינדר
  מאגר מת"ל-
  חומרי למידה
  אסטרטגיות למידה/הוראה/חשיבה/קריאה/אוריינות ---מדע וטכנולוגיה מתמטיקה פיזיקה כימיה גנטיקה     
  היסטוריה וציונות  יהדות  תנ"ך גאוגרפיה ---אזרחות ספרות---לשון   ערבית   אנגלית      
שכיחות אותיות בשפה העבריתפרדוקסים סמנטיים ולוגיים

המשפט האחרון של פרמה - סקירה מתמטית מאת אהרן מוריאלי

המשפט האחרון של פרמה

* המאמר באדיבותו של הסופר אהרן מוריאלי.
 

פייר דה פרמה Pierre de Fermat   (חי בשנים: 1665-1601‏) היה עורך דין צרפתי שעבד בשירותו של בית-הנבחרים המחוזי של טולוז. רק בגיל שלושים הוא התחיל להתעניין במתמטיקה ועסק בה כחובבן. מסתבר שהיה חובבן שהשתווה בכישוריו לטובי המתמטיקאים של זמנו וגם של כל הזמנים, וזכה לכינוי "נסיך החובבנים".  בנוסף לכמה תגליות חשובות בתחום תורת המספרים, הוא פיתח סוג של הנדסה אנליטית כמה שנים לפני שדקרט עסק בזה, חקר את תורת ההסתברות במקביל לעבודותיו של פסקל בנושא זה, והניח כמה נדבכים בבניין הקלקולוס, שהשלימו אותו כמה שנים לאחר מכן לייבניץ וניוטון.

 

פרמה מיעט לפרסם את עבודותיו. למעשה הוא פרסם רק מאמר חשוב אחד בימי חייו, וגם זה רק חמש שנים לפני מותו. הידיעות שלנו על הישגיו המדעיים הגיעו אלינו מכתביהם של אחרים ומההתכתבות האינטנסיבית שהוא ניהל עם מיטב המתמטיקאים של אירופה דאז. הוא נהג להודיע על המסקנות שלו מחקירותיו מבלי לגלות את השיטות שבהן הוא נקט כדי להגיע אליהן. הוא, למשל, הכריז שיש בידו הוכחה לבעיה כלשהי, אבל את ההוכחה הוא לא גילה והשאיר לאחרים להתמודד אתה. ואכן כל המשפטים שהוא הציע או שהם הוכחו או שהם נסתרו על-ידי אחרים שבאו אחריו, ורק מה שמכונה "המשפט האחרון של פרמה" נשאר דורות על דורות ללא הוכחה, וזהו גם הטעם לכינוי.

 

הסיפור שלנו מתחיל בשנת 1670, חמש שנים אחרי מותו של פרמה. בנו, סמיאל (התעתיק מצרפתית של Samuel), התכוון לפרסם את מכתביו ואת הערותיו שפיזר פרמה בשולי הספרים, ביניהם ספרו של המתמטיקאי היווני מהמאה השלישית דיופנטס. ספר זה, אריתמטיקה, יצא לאור בלטינית (בצד המקור היווני) בשנת 1621 והמתרגם פרסם את התרגום בצד המקור היווני. פרמה התעניין בספר, שעזר לו להיכנס לטרקלינה של תורת המספרים, והתעניינותו השתקפה בהערות הרבות שכתב בשולי הספר. כיוון שהערות אלה היו חשובות ומשמעותיות החליט הבן להוציא מהדורה מיוחדת של הספר, שתכלול בתוך הטקסט את הערותיו של אביו. אחת ההערות נרשמה בפרק ב' של הספר ליד בעיה מספר 8 שנוסחה כך: בטא מספר ריבועי אחד כסכום של שני מספרים ריבועיים אחרים. בשפת האלגברה של ימינו מבטאים את הבעיה כך: מצא את הערכים של y, x ו-z במשוואה הבאה:   z2 = x2 + y2 . ליד בעיה זו רשם פרמה את ההערה הבאה: "מצד שני, אין  אפשרות לבטא מספר מעוקב כסכומם של שני מספרים מעוקבים, או לבטא מספר בחזקה רביעית כסכומם של שני מספרים המועלים בחזקה רביעית. באופן כללי, אין אפשרות לבטא מספר המועלה בחזקה שהיא גדולה משתיים כסכומם של שני מספרים המועלים באותה חזקה. יש בידי הוכחה מופלאה למשפט זה, אבל השוליים צרים מהכילה."

 

שוב, בשפת האלגברה של ימינו ניתן לנסח את הערתו של פרמה כך: אין שום אפשרות לפתור את המשוואה הבאה כאשר n>2:

zn = xn + yn                                            

משפט זה כונה על-ידי מתמטיקאים המשפט האחרון של פרמה, כיוון שכל שאר המשפטים המתמטיים שבהם דן פרמה או שהוא הוכיח אותם בעצמו או שהם הוכחו או נסתרו בידי אחרים שבאו אחריו, ורק משפט זה נשאר ללא הוכחה. במובן זה, זהו המשפט האחרון שהיה עדיין טעון הוכחה.

 

פרמה עצמו הוכיח בשנים האחרונות של חייו שהמשוואה לא תוכל להתקיים אם  4=n. המתמטיקאי השוויצרי אוילר הראה שהיא לא תוכל להתקיים אם 3=n. כמה עשרות שנים לאחר מכן הוכח שהיא לא תוכל להתקיים אם 7, 5=n. מכאן והלאה החלו מתמטיקאים להוכיח את המשפט, לא לגבי מספרים בודדים שיוצבו במקום nאלא לגבי קבוצות של מספרים. בשנת 1847 הוכיח המתמטיקאי הגרמני ארנסט קומר Kummer  (חי בשנים 1893-1810) שהמשפט נכון כאשר יוצבו במקום nכל המספרים הראשוניים הקטנים ממאה חוץ מאשר המספרים הראשוניים: 37, 59, 67. וכך נמשכו הניסיונות למצוא מספרים גדולים יותר שיאוששו את נכונותו של המשפט עד שהגענו לעידן המחשבים בשנות ה-70 של המאה העשרים, שגם הם תרמו להגדיל את קבוצת המספרים שתוצב במקום nבמשוואה. בשנת 1976 הוכח שהמשפט נכון לגבי כל המספרים עד 125,000=n, ובשנת 1992 הוגדל טווח המספרים עד ארבעה מיליון!

 

הקושי במשפט פרמה הוא המספר האינסופי של המשוואות הדרושות כדי להוכיח אותו. שום מחשב לא יוכל להוכיח אותו באמצעות מספר סופי של מספרים שיוצבו במקום n. המחשב יכול להציב גבול עליון של המספרים, וגבול זה יגדל עם שכלול תוכנת החיפוש או שכלול החומרה שלו, אבל זה לעולם לא יספיק כדי להוכיח את המשפט. ההוכחה חייבת להיות מוחלטת ועונה על הדרישה ש-nכולל את כל המספרים מ-3 ועד אינסוף. זהו הקושי שמתמטיקאים לא הצליחו להתמודד אתו במשך 370 שנה (משערים שפרמה כתב את הערתו בשנת 1637), עד שהופיע מדען אנגלי צעיר מאוניברסיטת פרינסטון שבניו-ג'רזי בשם אנדרו ויילס (1953-   ), שהצליח להוכיח את המשפט.

 

סיפור ההוכחה מעניין ודרמטי לא פחות מאשר העניין והמסתורין שאפף את המשפט. במשך שבע שנים עבד ויילס לבדו על ההוכחה, תוך שמירה על סודיות גמורה. בתום שבע השנים הוא נשא ביוני 1993 באוניברסיטת קיימברידג' שבאנגליה סדרה של הרצאות שבהן הוא פירט לקהל את מה שהוא חשב כהוכחה סופית של המשפט. הקהל קם על רגליו והריע לו על ההישג המרשים. דרך ההוכחה הייתה מסובכת ומפותלת, והשתמשה במבנים וברעיונות של המתמטיקה המודרנית. ויילס ישב לכתוב את ההוכחה לפרסום, והנה הוא גילה פגם רציני בתהליך ההוכחה. במשך שנה שלמה הוא לא הצליח, יחד עם תלמידו לשעבר ריצ'רד טיילור, להתגבר על הקושי והיה קרוב מאוד לייאוש ולהודאה בכישלון, עד שביום אחד, בספטמבר 1994, הוא עלה באופן פתאומי ובלתי צפוי על הפתרון המיוחל. ויילס כותב: "הפתרון היה יפה באופן שלא יתואר. הוא היה כה פשוט וכה אלגנטי עד שיכולתי לשבת ולבהות בו במשך 20 דקות מבלי להאמין למראה עיניי..". בשנת 1995 פורסמה ההוכחה הארוכה בכתב העת היוקרתי Annals of Mathematics, ואחרי הפרסום החלו להרעיף עליו שפע של פרסים ממדינות שונות.

 

ראוי לציין שהכישלון הראשון של ויילס אינו מפתיע במיוחד או חריג במחקר המתמטי. בדרך כלל, הוכחות מופצות בחוג מצומצם של עמיתים לתחום, ועוברות "בקרת איכות" מספר חודשים לפני הכרזה רשמית על התוצאה. ואכן, האקדמיה למדעים של העיר גטינגן בגרמניה, שהכריזה בשנת 1908 על פרס של 100 אלף מרק למי שיגיש הוכחה מושלמת למשפט פרמה, ביקשה להשהות את הענקת הפרס למשך שנתיים כדי שמומחים מטעמה יבדקו בדקדקנות את ההוכחה. רק ב-1997 הוענק לוויילס פרס גטנגן ששוויו הריאלי אחרי 90 שנה היה רק 75,000 מרק, שהם     40,000 דולר בערך!

אין לקדם פוסט זה

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל ExcelMath91 אלא אם צויין אחרת