00
עדכונים

מנוי במייל

קבלת עדכונים על רשומות חדשות ישירות לתיבת האמייל
יש להזין אימייל תקין על מנת להרשם לעדכונים
ברגעים אלו נשלח אליך אימייל לאישור/ביטול ההרשמה
*שים/י לב, מרגע עשית מנוי, כותב/ת הבלוג יוכל לראות את כתובת האמייל שלך ברשימת העוקבים.
X

{ [ ( בניית עזר ) ] } - מתמטיקה, תכנות, סיכומים לבחינות הבגרות ואקסל

<<<<
 
   מתמטיקה 
   ונושאים 
   נוספים 
 
משפטים, נוסחאות ומתמטיקאים על ציר הזמן  תורת המספרים  תכנות C++/C  קומבינטוריקה  מתמטיקה/EXCEL  אסטרונומיה

משפטים בגאומטריה לבחינת הבגרות במתמטיקה - הדגמה ויזואלית ופתרונות לשאלות מהבגרות ומספרי הלימוד 
 
  אהרן מוריאלי  תורת המספריםסקירות מתמטיות-היסטוריות ספרים ריבועי קסם  הקסם שבמספרים מיהו מי-חידות היגיון רשימה
   המשפט האחרון של פרמה מספרי קרמייקל מספרים משוכללים מספרים ראשוניים פרפראות מתמטיות המספר ומחלקיו
   
מספרי מרסן   פעילויות בלוח הכפל  
  ערבית   לוחות פעלים במערכת הפעל הערבי, תחביר ודקדוק       -     טבלת אותיות וניקוד בערבית 
  סרגלי הפועל והתחביר הערבי - רות בן-אבי   -     חלוקה לוגית של האותיות בערבית - ניצה בינדר
  מאגר מת"ל-
  חומרי למידה
  אסטרטגיות למידה/הוראה/חשיבה/קריאה/אוריינות ---מדע וטכנולוגיה מתמטיקה פיזיקה כימיה גנטיקה     
  היסטוריה וציונות  יהדות  תנ"ך גאוגרפיה ---אזרחות ספרות---לשון   ערבית   אנגלית      
שכיחות אותיות בשפה העבריתפרדוקסים סמנטיים ולוגיים

קומבינטוריקה - סיכום: חליפות, תמורות, צירופים וחלוקת/פיזור כדורים בתאים

מבט כללי על קובץ EXCEL לסיכום המקרים השונים בקומבינטוריקה.
כל מקרה מתועד ברשומה נפרדת ב"רשומות האחרונות"
בעמודה השמאלית של האתר.

 

- - - - -

 

- - - -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

כקובץ טקסט

מתמטיקה דיסקרטית - קומבינטוריקה              
       
    1 מקרים בסיסיים צירופים ,חליפות ותמורות עם/בלי חזרות
    2 מקרים נוספים ריכוז המקרים של פיזור k כדורים לתוך n תאים, והשלמות נוספות.
    3 עקרון ההכלה-ההדחה(1) עם פירוט.
    4 עקרון ההכלה-ההדחה(2) ללא פירוט (חישוב באמצעות מאקרו).
    5 משפט המספרים הראשוניים צפיפות המספרים הראשוניים בטווח מסוים של שלמים.
    6 עובדות מעניינות נגיעה קלה בתורת המספרים
    7 ריכוז הערות לגליונות מיועד להדפסת ההערות של הגליונות השונים.
    8 סיכום סיכום
                 
השימוש בפקדים נועד לאפשר ניסוי וטעייה למקרים השונים וגם בדיקה של מקרי הקצה  (0,1 או n=k) עבור בחירות שונות.
אפשר להזין נתונים דרך הפקדים (לשחק עם החצים) או ישירות לתא. עדיף להדפיס את הגליונות לרוחב. יש לשנות הגדרות עמוד לפי הצורך.

 

 

מינוח פורמלי הסבר פורמלי /  ניסוחים שקולים (תאים) n (כדורים) k תוצאה נוסחה
           
צירופים בלי חזרות בחירת k איברים שונים מתוך n ללא חשיבות לסדר הבחירה,כך שאיבר יכול להיבחר פעם אחת בלבד. $C$3 10 0 50 1 10 11 $D$3 5 0 50 1 10 11
10
5 252 C(n,k)=(nk)=(n!) / (k!(n-k)!)
  פיזור k כדורים זהים בתוך n תאים שונים כך שבכל תא יש מקום לכדור אחד בלבד.       k<=n
  במשולש פסקל, זהו המקדם של האיבר ה-k-י בפיתוח הבינום   a+b)n)        
  לוטו (אין חשיבות לסדר הגרלת הכדורים).       מקרה פרטי של ההתפלגות ההיפרגיאומטרית
  מספר תתי הקבוצות בגודל k של קבוצה  A| = n| .      
חליפות בלי חזרות בחירת k איברים שונים מתוך n עם חשיבות לסדר הבחירה,כך שאיבר יכול להיבחר פעם אחת בלבד. $D$8 5 0 50 1 10 11 $C$8 10 0 50 1 10 11
10
5 30240 P(n,k)=(n!) / (n-k)!
  פיזור k כדורים שונים בתוך n תאים שונים כך שבכל תא יש מקום לכדור אחד בלבד.       k<=n
  מספר המחרוזות השונות באורך k שניתן לבנות מ-n תווים שונים מבלי להשתמש באותו תו יותר מפעם אחת.        
  מספר הפונקציות החד-חד-ערכיות של קבוצה  A| = k|  ל- B| = n|         
צירופים עם חזרות בחירת k איברים לא בהכרח שונים מתוך n סוגים של איברים ללא חשיבות לסדר הבחירה,כך שאיבר יכול להיבחר יותר מפעם אחת. $C$12 10 0 50 1 10 11 $D$12 5 0 50 1 10 11
10
5 2002 D(n,k)=(n-1+k k)=(n-1+k n-1)
  בחירה של k עצמים מתוך n סוגי עצמים כאשר כל העצמים השייכים לאותו סוג -זהים.        
  פיזור k כדורים זהים בתוך n תאים שונים,כאשר אין הגבלה על מספר הכדורים בתא.        
  מספר הפתרונות בטבעיים (כולל אפס) של המשוואה     X1+X2+…+Xn = k.        
  בחירת k אותיות מתוך א"ב של n אותיות ללא חשיבות לסדר ועם החזרות.        
  מספר האפשרויות לצבוע k חדרים זהים ב-n צבעים שונים.        
חליפות עם חזרות בחירת k איברים לא בהכרח שונים מתוך n סוגים של איברים עם חשיבות לסדר הבחירה,כך שאיבר יכול להיבחר יותר מפעם אחת. $C$18 10 0 50 1 10 11 $D$18 5 0 50 1 10 11
10
5 100000 nk
  פיזור k כדורים שונים בתוך n תאים שונים, כאשר אין הגבלה על מספר הכדורים בתא.        
  מספר המחרוזות השונות באורך k שניתן לבנות מ-n תווים שונים כאשר אין הגבלה על  מספר הפעמים בו משתמשים באותו תו.        
  מספר האופנים  לחלוקת 3 פרסים שונים בין 15 תלמידים כאשר תלמיד מסויים יכול לקבל  יותר מפרס אחד (אנלוגיה ל"טוטו").        
  מטילים קוביה 5 פעמים. כמה חמישיות סדורות יכולות להתקבל?  פתרון : 65        
  מספר הפונקציות של  A| = k|  ל- B| = n|         
   הערה :   מספר הפונקציות מ- A| = k|  ל- B| = n|  הוא  n+1)k)        
תמורות בלי חזרות מספר האפשרויות לסדר n איברים בשורה. $C$25 6 0 50 1 10 11
6
  720 E(n)=n!
  מספר הפונקציות של  A| = n|  על עצמה.        
  מספר יחסי הסדר המלא מעל  A| = n| .        
תמורות עם חזרות ועם חשיבות לסדר מספר האפשרויות לסדר n עצמים שונים שביניהם k1 עצמים זהים, k2 עצמים אחרים זהים וכו' כך שמתקיים k1+k2+…+km = n $C$28 15 0 50 1 10 11 $D$28 3 0 50 1 10 11
15
3 756756 n! / (((n/k)!)*k)                                k<=n
  מספר האופנים לחלק n שחקני כדורסל  (שונים זה מזה,כמובן) ל-k קבוצות כך שבל קבוצה  n/k  שחקנים ולכל קבוצה תלבושת בצבע אחר. כאן ,מעבר לחלוקה לקבוצות, יש חשיבות לתת שמות לקבוצות:קבוצה א', קבוצה ב', וכן הלאה.       מקרה פרטי של ההתפלגות המולטינומית
  מספר האפשרויות לפזר n כדורים שונים בתוך k תאים שונים כך שבכל תא יהיו n/k כדורים.        
  מספר המילים השונות (מחרוזות שאינן בהכרח בעלות משמעות מילולית) שאפשר לבנות מהמחרוזת "קומבינטוריקה". (מקרה אנלוגי לכדורסל,אך כאן קבוצות האותיות הזהות אינן שוות זו לזו).        
תמורות עם חזרות וללא חשיבות לסדר מספר האופנים לחלק n שחקני כדורסל  (שונים זה מזה,כמובן) ל-k קבוצות כך שבל קבוצה  n/k  שחקנים ולכל  השחקנים מדים זהים. כאן, בניגוד למקרה הקודם, אנו שמים דגש על חלוקה לקבוצות בלבד , ולא משנה מי תיקרא קבוצה א', קבוצה ב' וכן הלאה… כי כל הקבוצות זהות מבחינתנו. $C$32 15 0 50 1 10 11 $D$32 3 0 50 1 10 11
15
3 126126 n! / (((n/k)!) *k * k!)                                       k<=n
          היחס בין סעיף זה לקודם לו הוא  ! K.
הכללה   $C$32 15 0 50 1 10 11
 
$C$32 15 0 50 1 10 11
 
   
  מספר האפשרויות לפזר n כדורים שונים בתוך k תאים זהים ("חלוקה") כך שבכל תא יהיו n/k כדורים.        
  חלוקת kn עצמים שונים ל-n קבוצות בנות k איברים כל אחת.        
           

 

 

עקרון שובך היונים המורחב אם מכניסים n+1 יונים ל-n שובכים, אז קיים שובך שבו יש לפחות שתי יונים. 
  ניסוח אחר : אין פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה   1+ A| = n|  לקבוצה   B| = n| 
  אם מכניסים mn+1 יונים ל-n שובכים, אז קיים שובך שבו יש לפחות m+1 יונים.
מינוח פורמלי הסבר פורמלי |A|=n |B|=k תוצאה נוסחה סימן 
עקרון ההכלה-הדחה מספר הפונקציות של  A| = n|  על  B| = k|  $C$2 10 0 50 1 10 11
10
$D$2 5 0 50 1 10 11
5
5103000  
 
         
        תנאי ליישום הנוסחה: IF((k>n) or (k=0) or ((n=0) and (k<>0))),      then result=0, else….  
     

9765625 COMBIN(k,0)*POWER(k,n) - חיובי
        -5242880 COMBIN(k,1)*POWER(k-1,n)+ שלילי
        590490 COMBIN(k,2)*POWER(k-2,n) - חיובי
        -10240 COMBIN(k,3)*POWER(k-3,n)+ שלילי
ישנם 1+k מחוברים ("תוצאות  חלקיות") מהם k שונים מאפס, וזוהי ,למעשה, מעין בדיקת נכונות של הנוסחה.
    5 COMBIN(k,4)*POWER(k-4,n) - חיובי
    0 COMBIN(k,5)*POWER(k-5,n)+ שלילי
    0 COMBIN(k,6)*POWER(k-6,n) - חיובי
    0 COMBIN(k,7)*POWER(k-7,n)+ שלילי
        0 COMBIN(k,8)*POWER(k-8,n) - חיובי
        0 COMBIN(k,9)*POWER(k-9,n)+ שלילי
        0 COMBIN(k,10)*POWER(k-10,n) אפס
             
ניסוחים שקולים : מספר האפשרויות לפזר n כדורים שונים ב-k תאים שונים כך שלפחות תא אחד ישאר ריק.
  מטילים n>=6 קוביות שונות, מהו מספר התוצאות האפשריות בהן מופיע כל אחד מהמספרים 1 עד 6 (k=6) לפחות פעם אחת? 
             
             
הערות:    
א. חייב להתקיים n>=k. בפרט, כאשר n=k התוצאה היא  ! n.    
ב. הנוסחה נכונה עבור k<=10, אם כי ניתן להמשיך וליישמה עבור k כרצוננו,                       באמצעות הוספת מחוברים מתאימים לפי הדוגמה.   אין הגבלה על n .    
   
ג. הפרדת המחוברים, היוצרת סרבול מסוים,נובעת מכך ש-EXCEL מחשיבה את                   ( combin(x,y עבור x>y  כשגיאת מערכת , ואז הנוסחה כולה חסרת משמעות.                התנאי שנכתב "מאלץ" ביטוי זה להתאפס ,ובכך נפתרת הבעיה.    
   
   

 

 

מינוח פורמלי הסבר פורמלי |A|=n |B|=k תוצאה
עקרון ההכלה-הדחה מספר הפונקציות של  A| = n|  על  B| = k|  $C$2 4 0 50 1 10 11
4
$D$2 3 0 50 1 10 11
3
36

 

  מינוח פורמלי הסבר פורמלי   n   תוצאה נוסחה  
                 
    מספרים ראשוניים מספר המספרים הראשוניים עד המספר n  (בקירוב) . $F$3 9089 0 30000 1 10 11
9089
  997 n/ln(n)  
                   
                   
    הפרשים  אחוז הדיוק המספר המקורב של המספרים הראשוניים בטווח ע"פ נוסחת הצפיפות. המספר האמיתי של המספרים הראשוניים בטווח  טווח:                                 (המספרים השלמים מ-2 עד…)  
    0 100.000% 4 4 10  
    3 88.000% 22 25 100  
    23 86.310% 145 168 1000  
    143 88.365% 1086 1229 10000  
    906 90.555% 8686 9592 100000  
    6116 92.209% 72382 78498 1000000  
    44158 93.355% 620421 664579 10000000  
    332774 94.224% 5428681 5761455 100000000  
    2592592 94.901% 48254942 50847534 1000000000  
    20758029 95.438% 434294482 455052511 10000000000  
                   
                   
      מלבד שני המקרים הראשונים, הרי שאחוז הדיוק גדל ככל ש-n  גדל, אם כי הפער בין הפרשי התוצאות במציאות לבין ההפרשים לפי נוסחת צפיפות הראשוניים - גדל ( חוק המספרים הגדולים).    
         
         
         
         

הוספת תגובה

נשארו 150 תוים
נשארו 1500 תוים

תגובה אחת

© כל הזכויות לתוכן המופיע בדף זה שייכות ל ExcelMath91 אלא אם צויין אחרת