לגלישה באתר בגירסה המותאמת לסלולאר

בהנהלת:

אופן הצפייה:
הסתרת שרשור מעל   תגובות
עץ הודעות:
"המתמטיקה היא מלכת המדעים", אמר קרל פרידריך גאוס, גדול המתמטיקאים בכל הזמנים.

מתמטיקה היא אמנות המחשבה הטהורה, ואם נרצה או לא היא שזורה
בחיינו, בגלוי או מאחורי הקלעים.

אני מזמין את קהל הגולשים לבקש ולתת עזרה בכל תחום במתמטיקה ובכל רמה, או סתם להעלות רעיונות ונושאים לדיון (במתמטיקה).

זה המקום גם לחידות לוגיות, בעיות פתורות, בלתי פתורות ובלתי ניתנות לפתירה, ואפילו בדיחות מתמטיות (כן, יש כאלה).

מה לא שייך לכאן? כל נושא שאינו מתמטי, אפילו אם הוא קשור למתמטיקה. אם ברצונכם לברר מה כלול בבגרות ארבע יחידות, ומה בחמש, אם אתם רוצים לדעת מתי מועד ב` באלגברה לינארית א` באוניברסיטה העברית, או אם אתם חייבים לגלות מי שם עכבר (אופטי) בתיק של המורה (למתמטיקה) - אנא השתמשו בלוחות "לומדים לבגרות" או "לומדים לתואר" בפורום, או פנו לפורום "לימודים ועוד", או לפורום "סטודנטים", המתאימים יותר לתכנים מסוג זה. גם דיונים בפיזיקה מקומם לא כאן, אלא בפורום "מדע פופולרי".

כמו כן, אנא המנעו מהבאת הפניות לבעיות מספרים, כתחליף לציטוט הבעיה. הפניות כאלו אינן בנות משמעות למרבית הגולשים שאין ברשותם את הספר המדובר, ואינן תורמות לדיון.

לרשותכם גם לוח "שעורים פרטיים" בו אתם יכולים לבקש ולהציע עזרה מקצועית בלימודי המתמטיקה בכל רמה.


  

עוצמות

1
עוצמה היא אמת מידה כמותית ל"גודל הקבוצה". הגדרה: קבוצות A ו-B נקראות שוות עוצמה אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה A על קבוצה B.או במילים פשוטות יותר - ניתן להצביע על התאמה בין הקבוצות המתאימה לכל איבר ב-A איבר ב-B, כך שלכל איבר ב-B מתאים איבר אחד ויחיד ב-A.עבור קבוצת סופיות מושג העוצמה מתלכד עם המושג הפשוט של מספרים האיברים בקבוצה, כלומר שתי קבוצות סופיות הן שוות עוצמה אם ורק אם יש להם אותו מספר איברים.עבור קבוצות אינסופיות מושג העוצמה מהווה "הרחבה" של מושג המספר הטבעי במובן מסויים.נוהגים לכנות את העוצמה של המספרים הטבעיים - א0. (קרי: אלף אפס)ניתן להראות כי המספרים השלמים והרציונליים הם בעלי אותה עוצמה כמו הטבעיים - א0.ניתן להראות כי למספרים הממשיים יש עוצמה שונה מ-א0. מכנים עוצמה זאת C.העוצמה של כל קטע סגור או פתוח היא C.שים לב כי כדי להראות אי-שיוויון בין עוצמות של קבוצות A ו-B יש להראות כי לא קיימת פונקציה חח"ע ועל מ-A ל-B.הערה: אם איני טועה, אפיון של קבוצה אינסופית שכדאי לזכור שמתקבל כחלק מדיון זה הוא - קבוצה היא אינסופית אם ורק אם יש לה תת קבוצה אמיתית שקולת עוצמה לה.נרחיב את ההבנה של מושג העוצמה:א. כל קבוצה שוות עוצמה לעצמה. (פונקציות הזהות מקבוצה לעצמה מקיימת את הדרישה)ב. אם A שוות עוצמה ל-B, אז B שוות עוצמה ל-A. (אם f היא חח"ע ועל מ-A על B אז ההופכית ל-f היא חח"ע ועל מ-B על A)ג. אם A שוות עוצמה ל-B, ו-B שוות עוצמה ל-C אז A שוות עוצמה ל-C. (אם f היא חח"ע ועל מ-A ל-B, ו-g היא חח"ע ועל מ-B ל-C, אז ההרכבה של f ו-g היא חח"ע ועל מ-A ל-C).לתכונות א,ב,ג קוראים בהתאמה רפלקסיביות,סימטריות, וטריזיטיוויות.ליחסים המקיימים שלוש תכונות אלו קוראים יחסי שקילות.מכאן על כל קבוצה מוגדרת של קבוצה, יחס העוצמה הוא יחס שקילות, ולכן מגדיר מחלוקות שקילות (ובמילים פשוטות, ניתן לחלק את הקבוצות המדוברות לקבוצות זרות, כך שבכל קבוצה מופיעות קבוצות אם אותה עוצמה)הערה: הסיבה לניסוח "קבוצה מוגדרת של קבוצות" ולא "קבוצת כל הקבוצות" היא שהמושג האחרון לא מוגדר, ושימוש בו יוצר פרדוקסים באופן מיידי. בתורת הקבוצות האקסיומטית מגדירים באופן מסודר קבוצה. כל עוד אתה לומד את הנושא בגישה הלא-אקסיומטית, מספיק יהיה לומר שאי אפשר להשתמש בהגדרות מעין אלו. (דוגמה טובה: נניח שקיימת קבוצה S המוגדרת כך - S היא קבוצת כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן. שאלה - האם S מכילה את S? מכיוון שאין אף תשובה שלא יוצרת סתירה, S אינה קיימת, והגדרתה יוצרת פרדוקס).לאחר שהגדרנו את המושג של שיוויון עוצמות, היינו מעוניינים להכליל תכונה של עוצמות של קבוצות סופיות: עוצמות של קבוצות סופיות מזוהות עם המספרים הטבעיים. במספרים הטבעיים ישנם היחסים > (קרי: קטן), => (קרי: קטן שווה). יחסים אלו מכונים יחסי סדר. יחס הסדר "קטן שווה" מקיים במספרים הטבעיים את התכונות הבאות:א. לכל שני מספרים A ו-B מתקיים A "קטן שווה" ל-B או להיפך.ב. אם A קטן שווה ל-B ו-B קטן שווה ל-A אז A=B.ג. אם A קטן שווה ל-B, ו-B קטן שווה ל-C, אז A קטן שווה ל-C.היינו מעוניינים להגדיר על העוצמות יחס "קטן שווה" שיקיים את התכונות הנ"ל, ויהווה הכללה ליחס "קטן שווה" בין מספרים טבעיים (כלומר יתלכד עבור עוצמות סופיות עם היחס קטן שווה המוכר):הגדרה: עוצמה a תיקרא קטנה שווה לעוצמה b, אם קיימת התאמה חח"ע מקבוצה A שעוצמתה a לקבוצה B שעוצמתה b.הערה: צריך להראות כי ההגדרה לא תלוייה בבחירת הקבוצות A ו-B. לא אוכיח טענה זו.ניתן להראות כי היחס "קטן שווה" שהוגדר עבור עוצמות מקיים את תכונות א-ג שמקיים היחס "קטן שווה" שהוגדר עבור מספרים טבעיים. אפשר גם להראות כי עבור עוצמות סופיות, היחסים מתלכדים.הגדרה: תהיינה עוצמות a ו-b. עבור קבוצות A ו-B זרות, כך שעוצמת A היא a ועוצמת B היא b, נגדיר את העוצמה a+b להיות העוצמה של האיחוד של A ו-B.הערה: גם פה צריך להראות כי הבחירה של הקבוצות A ו-B אינה חשובה. כלומר שאם נבחרות קבוצות אחרות, C ו-D, המקיימות את התנאים, עוצמת האיחוד של C ו-D שווה לעוצמת האיחוד של A ו-B.זה עונה על השאלות על השאלות על חיבור עוצמות. שים לב שחיבור עוצמות הוא הכללה של חיבורים מספרים טבעיים.מתוך הגדרות אלו תוכל להסיק כי:א0 "קטנה שווה" מ-C. א0 ועוד C שווה ל-C.ולסיכום הדיון:קבוצת החזקה של A, מוגדרת להיות הקבוצה של כל הקבוצות החלקיות של A. אם נסמנה ב-P, אז ניתן להוכיח כי (משפט קנטור)עוצמת A קטנה ממש מעוצמת P. ("קטנה ממש"=העוצמה קטנה שווה, אך לא שווה).כלומר אפשר להראות כי יש אינסוף עוצמות אינסופיות - הסדרה הבאה היא סדרה של קבוצות אינסופיות שלכל אחת יש עוצמה גדולה מלקודמתה.האיבר הראשון בסדרה הוא N (המספרים הטבעיים)כל איבר הוא קבוצת החזקה של האיבר הקודם.לפי משפט קנטור העוצמה של כל איבר קטנה ממש מהעוצמה של האיבר הבא אחריו.אפשר להראות, כי עוצמת קבוצת החזקה של N, היא C.
2
הקבוצות שאתה הסתכלת הן קבוצות "בנות מנייה" כלומר ניתנות ל"מנייה" (כלומר אתה יכול למספר את איבריהן בסדרה 1,2,3...), אלה קבוצות ששקולות לקבוצה N, ומתברר כי N היא הקבוצה ה"אינסופית" הקטנה ביותר.בין היתר אתה תגלה שZ (השלמים) וQ (הרציונאליים), גם שקולים לN.כעת ישנן קבוצות שאינן בנות מנייה, למשל R או C הן קבוצות כאלה, בהם אתה לא יכול "למספר" כל איבר, כי אין לך איבר ראשון ביחס סדר "רגיל"...לגבי העוצמות, עבור דיון פשטני במושג, הגדרנו סוג של השוואה בין קבוצות ע"י פונקציות חח"ע ועל, ישנו משפט שאומר שזאת השוואה "טובה" , כלומר כל זוג קבוצות הן ברות השוואה.כעת בעצם נסתכל על אוסף כל הקבוצות (זוהי לא קבוצה, אבל לא מעוניין להיכנס לאקסיומות כאן), ואז ניתן להגדיר מחלקות שקילות על האוסף הזה ע"י שקילות עוצמה, ובעצם העוצמה היא מחלקה של קבוצות ששקולות עוצמה ביניהם, ואפשר לבחור נציג (למשל עבור קבוצות בנות מנייה (מעוצמת א0) את N, עבור קבוצות מעוצמת הרצף (א) לקחת את R וכו'), לנציג הזה נקרא ה"עוצמה" ובעצם הסימול למשל עם האלפים הוא בסה"כ "כינוי" לקבוצה.(נ.ב. יש הגדרה יותר מסודרת בעזרת מספרים סודרים, בעזרתה מכלילים מושגים כמו אינדוקציה ועוקב, אך היא מסובכת יותר)
  תתי נושאים נוספים
קטגוריות
רונית כהן זמורה - מנהלת פורום טיפול זוגי ומשפחתי

פורום טיפול זוגי ומשפחתי

מענה על כך שאלה בדיסקרטיות היכנסו עכשיו >>

ארגון פתחון לב

החגים כבר כאן!

880 אלף ילדים ישארו רעבים ללא עזרתכם. בואו לתרום להם עכשיו >>


עסקים נבחרים

עוד...
רוצה שהעסק שלך יופיע בתפוז עסקים?
האזור שלי בפורום
לעמוד הפורום